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【中图分类号】G423.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2014)5-0190-02 【教材分析】1、作为《圆》这章的第一个重要性质,它研究的是垂直于弦的直径和弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎,也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据。
【教学目标】
1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;
②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;
③掌握辅助线的作法--过圆心作一条与弦垂直的线段。
2.能力目标:①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;
②向学生渗透"由特殊到一般,再由一般到特殊"的基本思想方法。
3.情感目标:①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂直于弦的直径的性质及其应用。
【教学难点】1、垂径定理的证明。2、垂径定理的题设与结论的区分。
【教学方法】本节课采用的教学方法是"引导发现法和直观演示法"。
【教学设计】
一、实例导入,激疑引趣
1、实例:同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文,其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。
2、情景问题:赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?把一些实际问题转化为数学问题
3、回顾旧识
我们已经学习过对称的有关概念,下面复习两道问题
1)什么是轴对称图形? 2)我们学习过的轴对称图形有哪些?
(白板上直观的动画演示,运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)
二、尝试诱导,发现定理
1、引入新课
问:(1)我们所学的圆是不是轴对称图形?(2)如果是,它的对称轴是什么?
拿出一张圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?:(1)圆是轴对称图形。(2)对称轴是过圆点的直线(或任何一条直径所在的直线)(3)圆的对称轴有无穷多条
2、揭示课题
白板上用几何画板上作图:(1)做一圆(2) 在圆上任意作一条弦 AB;
(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。(板书课题:垂直于弦的直径)
3、师生互动
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察,讨论
(1)图中圆可能会有哪些等量关系?
(2)弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质?
4、探求新知
提问:这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的,结论是否正确还要从理论上证明它,下面我们试着来证明它
已知:CD是�O的直径,AB是弦,AB⊥CD证明:AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
①证明"AE=BE",可通过连结OA、OB来实现,利用等腰三角形性质证明。
②证明"弧相等",就是要证明它们"能够完全重合",可利用圆的对称性证明。
归纳定理:
根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为"垂径定理"。
(垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的逆定理:平分弦的直径垂直于弦,并且垂直于弦所对的两条弧)
5、运用新知练习1:
一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,
水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳:(1)圆中有关弦、半径
的计算问题通常利用垂径定理来解决。(2)重要的辅助线:
过圆心做弦的垂线构造直角三角形,结合垂径定理与解直
角三角形的有关知识解题。
三、例题示范,变式练习
1.运用定理进行计算。
〚例1〛如图1,在�O中,若弦AB的长为16cm,圆心
O到AB的距离为6cm,求�O的半径。
分析:因为已知"圆心O到AB的距离为6cm",所以要作(图1)
辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。
解:(略)学生口述,教师板书。
〚变式一〛在图1中,若�O的半径为5cm,OE=3cm,则AB= 。
思考一:若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,则R、a、d三者之间的关系式是 。
〚变式二〛如图2,在�O中,半径OC⊥AB,垂足为E,若CE=2cm,AB=8cm,则�O的半径= 。
思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)
2.运用定理进行证明
〚例2〛已知:如图3,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:AC=BD。
分析:证明线段相等,常用全等,可不可以用"垂径定理"证明。
证法:过点O作OE⊥AB于E,用"垂径定理"证明。
注:辅助线"过圆心作弦的垂线段"是证明关键,也是常用辅助线。
思考:在图3中,若AC=2,AB=10,则圆环的面积是 。
四、师生小结,画龙点睛
1.两个定理
2.一个计算
3.一种辅助线--过圆心作弦的垂线段。
五、分层作业
1、必做题:习题24.1-7,8
2、选做题:习题24.1-13