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课题：1.1 等腰三角形（二）
一、问题引入：
1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
2、 等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.
已知：
求证：
证明：
得出定理： .
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
二、基础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
得出定理： ；简称： .
3. 请同学们阅读课本“想一想”，这一结论成立吗？你能证明吗？若不会证明，请看课本小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称为什么方法？
三、例题展示：
如图，△ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE
相交于点O，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO；
②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条
件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.
四、课堂检测：
1. 已知：如图，在△ABC中，则图中等腰直角三角形共有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
第1题 第2题
0第3题 第4题 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=120, D.E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△
ADE是 三角形.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（ ）
A.30 B.36 C.39 D.42
4. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=36,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有 个等腰三角形.
5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西28,从B处测得灯塔C在北偏西56,求B处到灯塔C的距离.
6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例.
000
安全教育：
学习目标：1. 了解等腰三角形的概念 2.探索并掌握等腰三角形的性质3.准确说出“三线合一”是等腰三角形中哪三条线段。
重点：“三线合一”性质，难点:探究等腰三角形的性质 一、知识链接：
1. 的三角形叫等腰三角形。
2．在等腰三角形中， 叫做腰， 叫做底边， 叫做顶角， 叫做底角。 3. 叫做等腰直角三角形。
4.如图：等腰?ABC中，AB=AC,腰是 底边是 顶角是 底角是
5.等腰三角形是 对称图形，对称轴是 。
二、新知初探：等腰三角形的性质
1．做一做：将准备好的等腰三角形对折一下，使两条腰重合，观察等腰三角形：①底边分成的两部分 ②底边与折痕所夹的角 ③顶角被分得两部分
2.请你用文字语言叙述：
（证明）。
3.结合图形写出“三线合一”性质符号语言表示：
三、典例：
如图是房屋屋顶框架的示意图。其中，AB=AC,AD⊥BC，∠BAC=120°。求∠B,∠C和∠BAD的度数。
A
D
四、题组：A组： C
1.等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是
2.已知等腰三角形的两边长分别是6㎝、4㎝，则该等腰三角形的周长是 3.等腰三角形中，两个内角的比是4：1，则顶角的度数是 4.如图：△ABC中，AB=AC,AD∥BC,∠BAC=80°，则∠DAC=
5.如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B=40°， 求∠C、∠BAD和∠BAC的度数。
B组：1.等腰三角形中一个角是80°，那么另两个角是 2.等腰三角形中一个角是100°，那么另两个角是
3.等腰三角形中两边长是6㎝、2㎝，则等腰三角形的周长是 4.如图：△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD， 则∠A的度数为
C组：如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=
11
2AB?PE，S△ACP=2AC?PF， S1
△ABC=2
AB?CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴ AB?PE+AC?PF= AB?CH． ∵AB=AC， ∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= ．点P到AB边的距离PE= ． 五、达标测评
1.等腰三角形的一个底角是70°，那么顶角是
2.等腰三角形中两边长是6㎝、5㎝，则等腰三角形的周长是 3.如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B=50°， 求∠BAD，∠CAD和∠C的度数
课题：等腰三角形
教学目标
1、理解等腰三角形的定义及等腰三角形的相关概念；（知识目标）
2、掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题；
教学重点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学难点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学过程
一）揭示教学目标（学习目标）
二）指导学生自学
自学提示
学生自学课本P82-P83的内容，思考下列问题：（5分钟）：
1、怎样的三角形称为等腰三角形？它有哪些相关概念？
2、等腰三角形有哪些相关的性质？你能用翻折纸的方法得出这些性质吗？
3、结合P83例一想一想，你能用“∵∴”的方法来写出这个题并说出每一步的根据吗？
三）学生练习
P84练习1、2、3
四）点拔、矫正、指导运用。
1、出示多媒体课件用折纸的方法得出等腰三角形“等边对等角”和等腰三角形“三线合一”的性质；
2、围绕自学提纲和学生练习情况进行矫正，培养学生动手能力和运用所学知识解决问题的能力。
五）课堂练习
p86习题1、2
六）课堂小结
由学生自己总结。
一、等腰三角形的性质与判定
二.等腰三角形三线合一:
等腰ΔABC中AB=AC,?[1]AB?AC?
B
C
?底边上的中线?[2]BD?CD??
?三线合一?底边上的高线?[3]AD?BC? 四个组成元素中，若[2]、[3]、[4]中的任意两个成立
?顶角的平分线?[4]?BAD??CAD??
（即：“两线”合一），则另外两个也成立。
考点分析：
1.等腰三角形的性质与判定： （1）等角对等边；（2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； （3）三个角都相等的三角形是等边三角形 2. 计算线段、角的大小；(利用方程思想进行求解)
3. 在解答过程中，进行线段、角的等量转化.
4. 等腰三角形中的几何证明. 5. 等腰三角形中的分类讨论. (1)“边”上的分类：
等腰三角形的“边”有两个特殊的名称：“腰”和“底边”，所以当只出现等腰三角形的“边”的概念时，首先要把该“边”分为“腰”和“底边”两种情况分别计算，然后利用三角形的三边关系进行确定. (2)“角”上的分类：
等腰三角形的“角”也有两个特殊的名称：“顶角”和“底角”，所以当只出现“角”这一概念时，也要把该“角”分为“顶角”和“底角”两种情况来计算。（这里应注意的是：等腰三角形的“底角”取值必须为（0＜底角＜90°）
(3)“腰上的高”的分类讨论：
因为等腰三角形的顶角可能是锐角，也可能是钝角，所以在等腰三角形中的角没有确定时，出现“腰上的高”这一概念时，一般要把“高线”分为在形内、形外来讨论.
?
类型1.等腰三角形的性质与判定:
例1．等腰△ABC的顶角∠A＝20°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（ ）
A. 100° B. 130° C. 115° D. 140° 例2.下列命题中，假命题是（ ）
A. 等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形全等 B. 底边相等的两个等腰直角三角形全等 C. 高相等的两个等边三角形全等 D. 腰相等的两个等腰三角形全等 例3.等腰△ABC的顶角∠A＝20°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（ ） A. 100° B. 130° C. 115° D. 140° 例4. 如图，在?ABC中，BD?DC，?1??2. 求证：AB?AC.
例5.如图，已知：在?ABC中，AB?AC，BD和CE是AC和AB边上的中线. 求证：BD?CE.
例6.如图，已知：在?ABC中，AB?AC，D是AB上一点，经过D作DE?BC，E是垂足，并与CA的延长线相交于F. 求证：AD?AF.
例7.如图，已知：在?ABC中，AB?AC. ?DBC??DCB. 求证：AD平分?BAC.
类型2.等腰三角形中的分类讨论.
例1．若等腰三角形的两边长分别为3、 5，则该等腰三角形的周长为 。 例2．若等腰三角形有一个角为50°，则另两个角分别为 。
例3．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为 .
例4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例5．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ） A. 35° B. 20° C. 35 °或 20° D. 无法确定
类型3.等腰三角形里的计算问题.
例1.如图，已知：在?ABC中，AB?AC，?A?30?，BD是?ABC的高，求?CBD的度数.
例2.已知：如图，D、E分别为等边?ABC的边BC、AC上的点，且BD?CE，BE、AD相交于点F.求证：?AFE?60?.
例3.如图，在?ABC中，已知BO，CO分别平分?ABC和?ACB，DE//BC. 并且已知AB?8cm,AC?6cm. 求：?ADE的周长.
例4. 如图，已知：在Rt?ABC中，?ACB?90?，?A?30?，CD?AB，DE?BC，D、E是垂足，
AB?24cm.求BE.
例5.如图，已知：在?ABC中，AD是?BAC的平分线，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，又AE?6.求：四边形AFDE的周长.
类型4.等腰三角形中的几何证明.
例1．已知△ABC中，AB=AC，D、M分别为AC、BC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=
求证：（1）∠DMC=∠DCM；（2）DB=DE
例2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，求证：BG＝CF。
例3.如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，?DBP＝?DBC.求证：?P＝30
P
C
例4.如图，已知：在等腰三角形ABC中，AD为底边BC的中线，O为AD上任意一点，CO交AB于E，
BO交AC于F，连结EF.求证：EF//BC.
例5.如图，点C是线段AB上任意一点（C点与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M，BD与CE交于点N. 求证：（1）△ACE≌△DCB；（2）MN∥AB.(3)试判断 △MNC的形状.
1
BC. 2
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且CE=BD， 求证：DF=EF
变式题: 如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，
DE交BC于F，且CE=BD，求证：DE>BC
B
例7．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
变式题:如图, 已知在△ECD中 CE=DE,若?B＝60,AB=BC.
CC求证:AE=CD+AC
类型5.等腰三角形中的和差倍分问题
例1.如图，已知：在?ABC中，E是AB延长线上的一点，AE?AC， AD平分?A，BD?BE. 求证：?ABC?2?C.
变式题1: 如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+AD.
求证：∠B=2∠C
变式题2: 如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD C
例2.已知：如图，BC?AB，BD平分?ABC，且AD?DC.
求证：?A??C?180?.
例3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，
过C作BE的垂线交BE于E.求证：BF=2CE
变式题：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°, CD⊥AB于D,BE平分?ABC,且
BE⊥AC于E，与CD相交于点F.H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.
（1）求证：BF=AC； （2）求证; BF=2CE;
(3) CE与BG的大小关系如何?证明你的结论.
A例4. D是?BAC的平分线与?ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，
交AB于E，交AC于F. 求证：EF?BE?CF.
例5. 如图,在等腰Rt?ABC中,,P是斜边BC的中点,以P为顶点的直角的
两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF，当∠EPF绕顶点P 旋转时（点E不与A、B重合），ΔPEF也始终是等腰直角三角形， 请说明理由.
?
F
例6. 操作：如图（1）△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一
个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.
（2）中画出图形，并说明理由.
例7.一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的 方位是北偏东75，又航行7海里后，在B处 测得小岛P的方位是北偏东60，若小岛周围3.8海里 内有暗礁，问该船一直向东航行有无 触礁的危险。 0
?
A
B
(2)若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，在探线段BM、MN、NC之间的关系，在图
D
P
巩固练习:
1. 在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ） A. 20 B. 16 C. 16或20 D. 以上都不对 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC=（ ）
D 0000
A．10 B.12.5 C.15 D.20
3. 如图，已知：在?ABC中，AB?AC，?A?40?，点O在?ABC内，且∠OBC=∠OCA.
求：?BOC的度数.
4.如图，已知：在?ABC中，AB?AC，BE?CD，?B?70?，BD?CF.求：?EDF的度数.
5. 如图，已知：在?ABC中，?A?80?，BD?BE,CD?CF.求：?EDF的度数.
6．如图，等边△ABC表示一块地，DE、EF为地块中的两条路，且D为AB中的，DE⊥AC，EF∥AB，现已知AE=5m，你能求出地块△EFC的周长吗？
C
7.如图在△ABC中，AE平分∠BAC，∠DCB＝∠B－∠ACB，求证：△DCE是等腰三角形。
8.如图，已知：?ABC是等边三角形，D为AC上一点，且?ABD??ACE，BD?CE. 求证：?ADE为等边三角形.
9.已知：如图在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°CE⊥AB于D且DE=DC.求证：△CEB为等边三角形。
E
A
D
CB
10.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB、AC的垂直平分线DF、EG分别交BC、CB的延长线于F、G.求证：∠GAB=∠FAC.
11.如图,在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，∠ABC的平分线AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE
12.求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等
13.已知：如图，在?ABC中，AB=AC，CD?AB 于D.求证：?BAC?2?DCB.
A
14.如图，已知：在?ABC中，AB?AC?CE，B是AD上一点，BE?CB交CD于E，AC?DC.求证：BE?
1
BC. 2
15.如图，已知：在?ABC中，AB?BC?CA，E是AD上一点，并且EB?BD?DE. 求证：BD?DC?AD.
16 . 如图，已知点C是AB上一点，?ACM、?CBN都是等边三角形. （1）说明AN=MB；
（2）将?ACM绕点C按逆时针旋转1800，使A点落在CB上，请对照原题图画符合要求的图形；
（3）在（2）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明
理由.
（4）在（2）所得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于点D，请你判断?ABD的形状，并说明你的
理由.
A
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课型 新 授 课时 1课时 主备 张志平 授课老师 班级 时间
学习目标：
1、 了解等腰三角形的概念。
2、 掌握等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是
它的对称轴。
3、 会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题。 4、 了解等边三角形的概念。 学习重点：等腰三角形的轴对称性。
学习难点：等腰三角形的轴对称性的推理说明。 一、预习导学 预习指导:
2.2等腰三角形预学单 一、预学内容
数学八年级上册2.1等腰三角形第24-25页。 二、预学目标
1.知道等腰三角形的有关概念。 2.掌握等腰三角形的轴对称性（等腰三角形的轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线）。 3.会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单的几何问题。 三、预学活动
我们知道，有两边相等的三角形叫做 ，其中相等的两边叫做等腰三角形的 另一边叫做等腰三角形的 ，二腰的夹角叫做 角，一腰和底边的夹角叫做 角。
四、预学检测
1.如图所示ΔABC中，当AB=AC时，ΔABC叫做 三角形，其中腰是 ， 底边是 。
2.如图所示ΔABC中AB=AC，作出其对称轴，说出其对称轴是一条 。
3.如图所示ΔABC中，AB=AC,AD=BD=BC,则图中有 个等腰三角形，它们是 。
第1题图
C 第2题图
C 第3题图
C
4.分别用3根、5根、6根、7根、8根、9
根火柴棒顺次首尾相接搭成几个等腰三角形？动
手试一试。 五、疑难问题
通过本节课的预学，你还有什么难懂或不懂的问题？ 二、课堂学习(教学环节、教学内容、教学方法等)
2.2等腰三角形课堂活动单 课堂活动 探究活动一：
等腰三角形的有关概念（腰、底、顶角、底角），（填一填）如图，在ΔABC中，AB=BD，AD=CD,根据你所预学的内容完成下列表格。
D
C
基础巩固：
1.
请在下图标出组成等腰三角形的元素：腰、底边、顶角、底角。
( ) 第1题图
C
第2题图
C
2.如图，在ΔABC中，AB=AC,AD=BD=BC,则此图中有 个等腰三角形。 探究活动二：
已知等腰三角形的一边长为3CM,另一条边长为4CM，试画出这个等腰三角形，并求出周长。 思考1、
解决这个问题运用了怎样的数学思想方法？ 基础巩固：
1.等腰三角形的周长为13，其中两边之差为1，则它的腰长为（ ） A.4 B.4或
111414 C. D.4或 333
2.一个等腰三角形的两边长分别为3,6，则其周长为（ ） A.12 B.15 C.12和15 D.无法确定
3.等腰三角形一腰上的中线将其周长分成18CM和12CM两部分，求这个等腰三角形底边的长。 探究活动三：
如图，在ΔABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC上的点，且AD=AE.AP是ΔABC的角平分线，点D,E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由。 C 思考2、
1.线段AP与线段DE存在怎样的位置关系？ 2.直线AP是线段DE的什么线？ 基础巩固：
如图，在ΔABC中，AB=AC,点D,E在BC边上，且BD=CE，AP是ΔABC的角平分线，点D,E关于AP对称吗？ΔADE是等腰三角形吗？请说明理由。
D P E
C
三、课堂小结
1.今天学习了几种特殊的三角形？它们分别满足什么特点。 2.等腰三角形是什么图形，我们是如何知道的？ 拓展提升
1.如图，为3×3的正方形网格，以顶点为格点，尽可能多地画出不全等的等腰三角形。 2.
P,使
ΔABP是等腰三角形，这样的点有几个？请在图中画出来。
四、布置作业 五、教学反思：
第1题图
第2题图
13.3 等腰三角形
教学目标
1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念．
2．记住等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法．
3．能用等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法解答相关题目． 教学重点难点
等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法 课时安排 5课时．
教案A
第1课时
教学内容
等腰三角形的性质． 教学过程 一、导入新课
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．那么三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？下面，我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质．
二、探究新知
1．等腰三角形的性质
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
教师备课系统──多媒体教案
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB＝AC．所以△ABC是等腰三角形．
让学生仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，探究等腰三角形的性质．学生仔细观察，教师及时点评，得到等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
教师指导学生证明等腰三角形的性质1，可以小组讨论，完成此题的初步证明，在此过程中教师要及时规范学生的标准步骤．
如右图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD． ∵ AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴ △BAD≌△CAD（SSS）． ∴ ∠B＝∠C．
2．等腰三角形性质的应用
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，点D 在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，?
由∠BDC＝∠A＋∠ABD，得到∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A．
由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
让学生思考后，完成此题的初步证明，师及时规范学生的标准步骤．
三、课堂小结
1．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论．
人教版义务教育教科书◎数学八年级上册
2．能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系． 四、课后作业 习题13.3第1题．
第2课时
教学内容
等腰三角形的性质． 教学过程 一、导入新课
思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
二、探究新知
1．等腰三角形的判定定理
让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤． 证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）． 作∠BAC的平分线AD． 在△BAD和△CAD中，
∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD， ∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB＝AC．
由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
2．判定定理的应用 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB＝AC．
分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．
证明：∵AD∥BC，
∴ ∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）． 而已知∠1＝∠2，所以
教师备课系统──多媒体教案
∠B＝∠C．
∴ AB＝AC（等角对等边）． 3．作等腰三角形
例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
作法:（1）作线段AB＝a．
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D． （3）在MN上取一点C，使DC＝h．
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 三、课堂小结
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图． 四、课后作业 习题13.3第2题．
第3课时
教学内容 等边三角形． 教学过程 一、导入新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
二、探究新知
1．等边三角形的性质
思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个
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内角满足什么条件才是等边三角形？
学生独立思考，教师及时点评．由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到： ①等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
教师指出以上没有严格的证明，让学生完成②的证明． 提示：这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤． 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C． 求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴ BC＝AC，AC＝AB． ∴ AB＝BC＝AC．
∴ △ABC 是等边三角形．
练习：学生仿照上例完成例③的证明． 2．判定方法的应用
例4 如下图，△ABC是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C． ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED． ∴ △ADE 是等边三角形．
练习：若点D、E 在边AB、AC 的延长线上（如下图），且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴ ∠A＝∠ABC＝∠ACB． ∵ DE∥BC， ∴ ∠ABC ＝∠ADE， ∠ACB ＝∠AED． ∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED．
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∴ △ADE 是等边三角形． 三、课堂小结
1．理解并掌握等边三角形的性质定理及判定方法． 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 四、课后作业 习题13.3第14题．
第4课时
教学内容
等边三角形性质的应用． 教学过程 一、导入新课
回顾等边三角形的有关性质，导入新课的教学． 二、探究新知
1．等边三角形的对称轴
学生回答出上节所学的性质：
①等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 活动1：思考等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴，并画出对称轴？ 学生尝试画出图形，教师及时点评．
总结：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，且对称轴是顶角平分线，底边上的中线、底边上的高所在的直线．
A活动2 在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤． BCD
提示：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AD为 BC
底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而 ∠ADC＝90°，∠l＝∠2，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求． 2．等边三角形的判断
活动3 △ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么？
①在边AB、AC上分别截取AD＝AE．
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②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上． ③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
让学生独立思考，并初步作答，教师及时点评，三种方法都对． 三、课堂小结
1．会画出等边三角形的对称轴，并知道它的特殊性． 2．能运用等边三角形的对称轴进行计算和证明． 四、课后作业 习题13.3第7题．
第5课时
教学内容
含30°角的直角三角形的性质． 教学过程 一、导入新课
让学生用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
二、探究新知
1．含30°角的直角三角形的性质
让学生完成上面的拼图，并找出有关猜想．说出你猜想，能否并结合图形，证明出来．
结合图形，学生说出猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
数学语言：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C ＝90°，∠A ＝30°，
∴ BC＝
1
AB． 2
2．性质的应用
例5 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB＝7．4 cm，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
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让学生思考如何求解，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
练习 如下图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，∠ABC＝120°，求证：AB＝2
让学生思考如何求解，并初步作答，师及时点评，并规范作答步骤． 证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E． ∵DB⊥BC（已知）
∴∠AED＝90°（两直线平行内错角相等） 在△ADE和△CDB中，
∠E＝∠CBD，∠AED＝∠BDC（对顶角相等），AD＝CD， ∴△ADE≌△CDB（AAS）
∴AE＝CB（全等三角形的对应边相等）． ∵∠ABC＝120o，DB⊥BC（已知）， ∴∠ABD＝30°．
在Rt△ABE中，∠ABD＝30°， ∴AE＝
1
AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等2
1
AB，即AB＝2BC． 2
于斜边的一半）
∴BC＝
三、课堂小结
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算． 四、课后作业 习题13.3第15题．
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教案B
第1课时
教学内容
等腰三角形的性质． 教学过程 一、导入新课
通过复合投影片的动态展示，说明等腰三角形在工农业生产及日常生活中的广泛应用，并让学生在三角形结构的人字梁中找出等腰三角形，导入新课的教学．
二、自主学习
1．等腰三角形的性质
活动1如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB＝AC．所以△ABC是等腰三角形．
活动2 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角． 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？
通过分析、实践，我们可以发现等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
活动3 证明等腰三角形的性质1．
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小组讨论，完成此题的初步证明，在此过程中教师要及时规范学生的标准步骤． 2．等腰三角形性质的应用
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，点D 在AC 上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，?
由∠BDC＝∠A＋∠ABD，得到∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A．
由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
让学生思考后，完成此题的初步证明，教师及时规范学生的标准步骤．
三、自我检测
1．已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的另外两个内角的度数分别是． 2．如下图，△ABC 是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC＝90°），AD是底边BC 上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数．
参考答案：1．70°和 40°；或55°和55°. 2．∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45° 四、课堂小结
复习本节知识，巩固所学内容． 五、课后作业 习题13.3第1题．
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第2课时
教学内容
等腰三角形的性质．
教学过程
一、导入新课
提问：1．等腰三角形的性质有哪些？
2．那么一个三角形满足了什么样的条件就是一个等腰三角形呢？
通过复习提问，导入新课的教学．
二、探究新知
1．画一画
请同学们先画一个锐角，然后分别以一条线段AB的两个端点为顶点在AB的同侧作两个角，使它们等于已知角，所作两个角另外一条边相交于点C．
2．比一比
请你用刻度尺量出上面图形中AC、BC的长度并比较它们的大小．
3．想一想
你能从上面的结果中发现什么规律？
归纳：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
验证：如何证明上述命题？请根据命题画出图形，并写出已知、求证．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，
求证：AB＝AC．
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：∵ 在△ABC中，∠B ＝∠C，
∴ AB ＝AC．
三、应用提高
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一
边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB＝AC．
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提示：这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．
让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
四、尺规作图
例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为H，求作这个等腰三角形． 学生尝试画出图形，教师及时点评，展示标准步骤．
五、自我检测
1．如右图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分
是一个等腰三角形吗？为什么？
2．已知△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，△ABC是______
三角形．
参考答案：
1．是．根据“两直线平行，内错角相等”．可知三角形中有两个角相等．
2．等腰
六、课堂小结
复习本节内容，巩固所学知识．
七、课后作业
习题13.3第2题．
第3课时
教学内容
复习课．
教学过程
一、复习总结
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
2．三角形按边分类
（1）不等边三角形
（2）等腰三角形：底边和腰不相等的等腰三角形；等边三角形．
3．等腰三角形是轴对称图形，其性质如下：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
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二、实例探究
例1 如下图，在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线交 BC于 D， DF⊥AC于 F，并与BC边上的高AE交于G．求证：EG＝EC．
证明：连结AD．
∵AB边的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADE＝45°．
又AE⊥BC，
∴AE＝DE．
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AFG＝∠DEG，∠AGF＝∠DGE．
∴∠GDE＝∠CAE．
在△GED和△CEA中
AE＝DE，∠GDE＝∠CAE，∠DEG＝∠AEC
∴△GED≌△CEA．
∴EG＝EC．
注意：补腰的目的是利用等腰三角形的两底角相等的性质．
例2 如下图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，P为BC上另一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证DE＝DF．
证明：连结AD．
∵△ABC是等腰直角三角形．又AD是 BC边上的中线，
∴AD＝BD．
∵∠BAC＝90°，∠PEA＝90°，
∠PFA＝90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴AF＝PE．
又∠B＝45°，∠PEB＝90°．
∴∠BPE＝45°，
∴PE＝BE，
∴AF＝BE．
又 AD＝DC，∠C＝45°，
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∴∠DAC＝ 45°，
∴∠DAC＝∠B．
在△BED与△AFD中，
BE＝AF，∠B＝∠DAF，BD＝AD，
∴△BED≌△AFD．
∴DE＝DF．
三、课堂小结
引导学生谈谈收获，然后让学生归纳总结，梳理知识，提高认识．
四、课后作业
习题13.3第5、6、10题．
第4课时
教学内容
等边三角形．
教学过程
一、导入新课
问题1：满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
问题2：等腰三角形与等边三角形有什么区别和联系？
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条．
提问：等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
二、探究新知
思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
1．等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
数学语言：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°．
利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴．
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问题：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？一个
三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
数学语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A＝∠B ＝∠C ，
∴
△ABC 是等边三角形．
3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
数学语言：
在△ABC 中，
∵ BC ＝AC，∠A＝60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
三、应用提高
例4 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
提问：除去教材上的证明方式外，本题还有其他证法吗？
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，如下图，且DE∥BC，结论依然成立吗？
三、课堂小结
1．本节课学习了等边三角形的性质和判定．
2．等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？
四、课后作业
习题13.3第12、14题．
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第5课时
教学内容
等边三角形性质的应用．
教学过程
一、导入新课
回顾上节课讲过的等边三角形的有关性质，导入新课的教学．
二、探究新知
探究：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
提问：你能借助第一个图形，找到含30°角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？
BC?1AB. 2
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
数学语言：
∵ 在Rt△ABC中，
∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC?1AB. 2
三、应用提高
例5 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴ BC＝11AB，DE＝AD． 22
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1×7.4＝3.7（m）． 2
1又 AD＝AB． 2
11∴ DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）． 22∴ BC＝
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m．
四、课堂小结
本节课学习了哪些内容？
在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
五、课后作业
习题13.3第7、15题．
（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 度；
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
〖预习练习〗
1.若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为
2.已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于 cm
3.等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为 。等腰三角形的周长为2＋3 ，腰长为1，底角等于 度.
4.一个正三角形的边长为a，它的高是（ ）（A3 （B考点训练
1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（ ）
（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11
2．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（ ）
（A）30° （B）40° （C）45 ° （D）60°
3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（ ）
（A）100° （B）130° （C）115 ° （D）140°
4．等腰三角形的对称轴有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）1条或3条
5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝
6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC， 则图中的等腰三角形有 个，它们是
7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝ ，∠BDE＝ ，AE＝ ；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝ ， △ABD的周长为 ，△ABC
的周长为
313（C （D 224
8.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为
9.等边三角形ABC中，D是AC中点，E为BC延长线一点，且DB＝DE，求证：
△DCE是等腰三角形。
独立训练
1．在△ABC中，∠B＝36°，D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图 中等腰三角形的个数（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A等于（ ）
（A）30° （B）36° （C）45 ° （D）54°
3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ）（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D）无法确定
4.已知△ABC中，AB=AC，D、M分别为AC、BC的中点，E为BC延长线上一点，且
1CE= BC，求证：（1）∠DMC=∠DCM；（2）DB=DE 2
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BF=2CE
10.如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，
连结EC、ED，求证：CE=DE
课标要求：了解等腰三角形的概念；探索并证明等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等； 说明要求：了解等腰三角形、等边三角形的概念；理解等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 学习目标：1.了解等腰三角形的概念；掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（重点）；
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算（难点）；
学习过程：
一．问题引领，合作探究
1.等腰三角形的概念： ，腰： ，底边 ，顶角 ，底角 ．
例如△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形， 是腰、 B 是底边、 是顶角， 是底角．
特别地（1）当等腰三角形的顶角为90°时，我们把它叫做等腰直角三角形.
（2）等边三角形的概念： .
3.三角形的分类（也可以用集合来表示）：
C
三角形?
?三角形? 三角形 ?
三角形?? 三角形??
4.等腰三角形的性质： A如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于
D， （1）猜想∠B与∠C的数量关系； CB
D
（2）操作验证： .
图2-5
（3）得到结论：
等腰三角形性质定理1 .简记为： 数学符号语言：
（4
）证明：
CB
二．例题精选，学法指导
例1.（1）在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝50°,则∠B= ，∠C= .
（2）在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝90°,则∠B= ，∠C= .
例2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F.求证：DE=DF.
B
例3.已知：EB=ED ，BD平分∠ABC，求证：ED∥OB。
B
三．知识迁移，拓展训练 例2. 填空
1（1）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm，则周长是 . （2）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则周长是 .
2（1）已知等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是 .
（2）已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是 .
3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则顶角是
.
四．反馈练习 分层达标
1.（1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝ ；若∠B＝72°，则∠A＝ .
（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝ ，∠BAM＝ .
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。 1
∠BAC＝180°－ ∠B，∠B＝ （ ）∠DAC＝ ∠C
2
DA
BC
A
（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°,则∠B＝ 度.
B D
C
2.⑴等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_________. ⑵等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm,则它的周长为___ ___.
⑶等腰三角形一腰上的中线把周长分为12cm和21cm两部分,则其底边长为__ cm.
3（1）已知等腰三角形的两边长分别为2cm和3cm，则周长是 .
（2）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长是 .
4（1）已知等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是 .
（2）已知等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是 .
6.如图，在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,∠ADC=70°，求∠BAC的度数.
A
BC
D
7.已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度数.
五．中考链接，明确方向
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于40°，则顶角是
.
六．作业分层，各有所获
课改第 页 A基础扫描 B能力提升 C敢于挑战 全 中考链接
七．反思小结，完善认知
课题：12.6等腰三角形的性质（2）
课标要求：探索并证明等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一；
说明要求：等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一；会用等腰三角形的性质解决有关问题； 学习目标：1.掌握等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一（重点）；
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算（难点）；
学习过程：
一．问题引领，合作探究
A
1.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D， （1）猜想BD与CD的数量关系以及AD与BC的位置关系；
B
（2）操作验证： . D
图2-5（3）得到结论：
等腰三角形性质定理2 . 简记为： .
数学符号语言： 在△ABC中，如图
① ∵AB＝AC ，∠1＝∠2
∴ ， （ ） ② ∵AB＝AC，BD＝DC
∴ ， （
） ③ ∵AB＝AC，AD⊥BC
∴ ， （ ）
CB
（4）证明：
C
二．例题精选，学法指导
例1.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD=DC， 求证：∠1＝∠2，∠3＝∠4
例2.如图：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD上一点。 求证：EB=EC
例3.已知：如图B、D、E、C在同一条直线上，AB＝AC，AD=AE.求证：BD=CE.
三．知识迁移，拓展训练
1.已知：如图，Rt△ABC中, ∠BAC=90,AB=AC,D是 BC的中点,且AE=BF. 求证： △DEF为等腰直角三角形。
2.已知：△ABC中，AB=AC，∠A＜60°，CD⊥AB于D 求证：∠BAC=2∠BCD.
四．反馈练习 分层达标
1.已知：如图3，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC，求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数.
2.如图，AB＝AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点，求证：AF垂直于CD．
A
EB
FD
五．中考链接，明确方向
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE的度数.
六．作业分层，各有所获
课改第 页 A基础扫描 B能力提升 C敢于挑战 全 中考链接
七．反思小结，完善认知
课题：12.6等腰三角形的判定
课标要求：探索并证明等腰三角形的判定定理：等角对等边；
说明要求：理解等腰三角形的判定定理：等角对等边；会用等腰三角形的判定解决有关问题； 学习目标：1.掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边（重点）；
2.会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算（难点）；
学习过程：
一．问题引领，合作探究
1.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度.为什么？
2.抽象成数学问题：如图.△ABC中，∠B=∠C，求证；AB=AC.
CB
3.得到结论：
等腰三角形判定定理 .简记为： 数学符号语言：
二．例题精选，学法指导
例1.已知：如图，AB∥CD，∠C=∠D，求证：AC=BD.
例2.已知：BD平分∠ABC，ED∥BC，求证：EB=ED。
B
三．知识迁移，拓展训练 （1）如图，△ABC中，AB=5，AD=3，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于E，求△AED的周长.
B
（2）如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， 过D作DE∥BC交AB于E，求△AED的周长.
（3）如图，△ABC中，BC=5，若BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,过D作DE∥AB交BC于E,作DF∥AC交BC于F.求△DEF的周长.
四．反馈练习 分层达标
1.已知 在△ABC中，D、E在BC边上，BD=CE，∠ADB=∠
AEC
，
求证：AD=AE、
AB=AC.
2.△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?求证：∠ACE=∠B.
1
BC，E在△ABC外， 2
2.△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD=CE. 求证：AB=AC.
五．中考链接，明确方向
已知：如图，AB∥CD，且AB平分∠EAD， 求证：
AC=AD.
六．作业分层，各有所获
课改第 页 A基础扫描 B能力提升 C
七．反思小结，完善认知
敢于挑战 全 中考链接
课题：12.6等腰三角形的性质（3）
课标要求：了解等腰三角形的概念；探索并证明等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等； 说明要求：了解等腰三角形、等边三角形的概念；理解等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 学习目标：1.了解等腰三角形的概念；掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（重点）；
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算（难点）；
学习过程：
一．问题引领，合作探究
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20°，求底角的度数.
二．例题精选，学法指导
例 如图，等腰△ABC的顶点A、B、C均为格点，请在图中确定格点C的位置.
三．知识迁移，拓展训练
如图，C是直线AB上一点，若M是直线AB上一点，且△MCD是等腰三角形，请画出满足条件的点M.
ACB
四．反馈练习 分层达标
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，试判断DE和DF的数量关系并进性证明.
BCD
2.如图，已知△
ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直∠ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD.
A
B
3.如图：△ABC中，AB=AC，DB=CF.求证：DE=FE.
A
D
CB
E
F
五．中考链接，明确方向
1.已知：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
（1）如图1，当E在AC
上时，试判断线段BE和AD的数量关系和位置关系； （2）当△DCE绕点C旋转到图2和图3的位置时，（
1）中的结论还成立吗？
B BB
2.图形分割问题：
答案：
3.知识新解第142页例5
六．作业分层，各有所获
课改第 页 A基础扫描 B能力提升 C敢于挑战 全 中考链接
七．反思小结，完善认知
课题：12.6等边三角形的性质
课标要求：了解等边三角形的概念；探索并证明等边三角形的性质 说明要求：了解等边三角形的概念；理解等边三角形的性质
学习目标：1.了解等边三角形的概念；掌握等边三角形的性质（重点）
2.会利用等边三角形的性质进行简单的推理、判断、计算（难点）
学习过程：
一．问题引领，合作探究
1.等边三角形的概念：的三角形叫做等边三角形. 2.等边三角形性质定理 . 数学符号语言：
证明：
B
二．例题精选，学法指导
例1.已知，如图，△ABC是等边三角形，△CDE和△DFG都是等腰三角形，
求∠G的度数.
B
例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长
A
BC
到E，使CE=CD．求证：DB=DE．
D
C
G
E
例3.已知：如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D （1）求：∠BAD的度数．（2）求证：BD=
1
2
AB．
例4.已知：如图△ABC和△BDE都是等边三角形 求证：（1）AE=CD（2）BD+CD=AD
C
B
C
三．知识迁移，拓展训练
已知，如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接AD和BE
（1）当B、C、D三点共线时，试判断AD和BE的数量关系，并进行证明.
BC
（2）当B、
C、D三点不共线时，（1）中的结论还成立吗？
BD
B C
BBCE C
D
D
四．反馈练习 分层达标
已知，如图：等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的动点，且满足BD=CE （1）试判断AD与BE的数量关系，并进行证明； （2）试判断∠AFE的度数是否为定值，如果是请求出这个定值，如果不是请说明理由.
BCD
五．中考链接，明确方向 △ABC中, AB=AC=BC, △DCB 中, DC=DB, ∠BDC = 120?, E、F分别为AB、AC上的点,∠EDF =60?. 求证: EF=BE+CF.
B
六．作业分层，各有所获
课改第 页 A基础扫描 B能力提升 C敢于挑战 全 中考链接
七．反思小结，完善认知
D
E
F
C
课题：12.6等边三角形的判定
课标要求：探索并证明等边三角形的判定 说明要求：理解等边三角形的判定
学习目标：1.掌握等边三角形的判定（重点）
2.会利用等边三角形的判定进行简单的推理、判断、计算（难点）
学习过程：
一．问题引领，合作探究 等边三角形的判定方法：
（1）定义： ； （2）判定定理1： ；
证明：符号语言：
B
（3）判定定理2： . 证明：符号语言：
B
二．例题精选，学法指导
1． 如图△ABC是等边三角形，
（1）若DE∥BC
．求证：△ADE是等边三角形． A（2）若BD=CE，求证：△
ADE是等边三角形．
D
B
2．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF． 求证：△DEF是等边三角形．
A
D B
E
EC
FC
53
三．知识迁移，拓展训练
已知，如图：等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的动点，且满足BD=CE=AF. 求证：△MNP是等边三角形.
BCD
四．反馈练习 分层达标
如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD． 求证：△DAE为等边三角形．
E
A
D CB
五．中考链接，明确方向
已知，如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接AD和BE
（1）当B、C、D三点共线时，试判断AD和BE的数量关系，并进行证明.
（2）设AD、BE相交于点M，在MB上截取MN=MA，求证：△MNA是等边三角形.
BD C六．作业分层，各有所获
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七．反思小结，完善认知
54
课题：12.7直角三角形的性质与判定（1）
课标要求：了解直角三角形的概念，探索并证明直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三
角形.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
说明要求：理解直角三角形的性质和判定，会解决有关问题.
学习目标：1.探索并证明直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索并掌握判定直
角三角形全等的“斜边、直角边”定理.（重点）
2.会用直角三角形的性质、判定解决有关问题.（难点）
一．问题引领，合作探究
1.直角三角形的性质：直角三角形两锐角 . 符号语言：
2.直角三角形的判定：有两个锐角 的三角形是直角三角形. 符号语言：
二．例题精选，学法指导 例1.填空：
（1）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=2:3，则∠A= ；
（2）已知：Rt△ABC中，∠A=90°，∠B比∠C的2倍小30°，则∠C= ；
C例2.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D
求证：∠BCD=∠
A. AD
例3.
已知：如图，AC⊥BD，DE⊥AB 求证：∠A=∠D D
三．知识迁移，拓展训练
1.已知：如图，AC⊥BD，∠A=∠D 求证：DE⊥AB
D
B
B
B
55
四．反馈练习 分层达标
1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F 若∠BAC=55°，则∠EDF= .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在AB边上的点C处，则∠BDC的度数为 .
D
BC
3.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，试判断AB与BC
的数量关系，并进行证明.
五．中考链接，明确方向
已知：△ABC中，AD是
BC边上的高，∠B=35°，AD=CD=1，则∠BAC= .
六．作业分层，各有所获
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七．反思小结，完善认知
56
课题：12.7直角三角形的性质与判定（2）
课标要求：了解直角三角形的概念，探索并证明直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三
角形.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
说明要求：理解直角三角形的性质和判定，会解决有关问题.
学习目标：1.探索并证明直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索并掌握判定直
角三角形全等的“斜边、直角边”定理.（重点）
2.会用直角三角形的性质、判定解决有关问题.（难点）
一．问题引领，合作探究
1.我们已经学过的证明两个直角三角形全等的方法 有 、 、 、 .
2.斜边、直角边公理： 和 对应相等的两个直角三角形全等.可以简写为“斜边、直角边”或“HL”. 数学符号语言：
二．例题精选，学法指导
例1.如图，已知：AB=AD，∠B=∠D=90°. 求证：AC平分∠BAD.
例2.如图，AC⊥BC
，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD。
三．知识迁移，拓展训练
1.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD． 求证：AD＝BC
；
57
2.已知：如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC．
四．反馈练习 分层达标
如图，AB?BC，DC?BC， AE?ED，AE?ED （1）求证：BC?AB?DC
（2）如果已知条件变为AB?BC，DC?BC，AE?ED，
BE?DC，试问AE与DE有怎样的位置关系，请证明.
五．中考链接，明确方向
已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD， BF⊥AC于F，DE⊥AC于
E
，AE＝CF． （1）求证：BO＝DO．
（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
六．作业分层，各有所获
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七．反思小结，完善认知
58
@13.3.1《等腰三角形》学案
一、定标自学：
请同学们根据教学目标提前预习课本P75——P77内容。
教学目标：
1.了解等腰三角形的概念。
2.理解并掌握等腰三角形的基本性质，并会利用相关性质解决简单的几何证明和实际问题。
3.经历通过探究发现规律的过程，感受数学学习的乐趣，激发数学学习的兴趣。
教学重点、难点
重点：等腰三角形的定义，等腰三角形的性质和应用
难点：等腰三角形性质的发现
二、教学过程：
1.课前引入
2.探索新知
活动一：折纸：动手做一做
看一看：△ABC有什么特点?
概念呈现：
有 的三角形，叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A
B
请在图中标出△ABC的腰、底边、顶角、底角。
小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
活动二：猜想与论证
等腰三角形是轴对称图形吗？
动手折一折，看一看。
议一议：在折叠的过程中，你发现了哪些相等的线段和角？
猜想： 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?
论证：等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。小试牛刀：
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为________________； ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 。
活动三：是真是假
猜想：等腰三角形底边上的中线平分顶角并垂直于底边。
论证：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合
议一议：小组合作交流
填一填：根据等腰三角形“三线合一”
在△ABC中，AB=AC时
（1）∵AD⊥BC
∴∠ =∠ ， =
（2）∵AD是中线
错误！未找到引用源。∴ ⊥ ，∠ =∠
（3）∵AD是角平分线
∴ ⊥ ， = 。
结论：
在等腰三角形中，（在△ABC中，AB=AC）① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD中已知任意一个都可以得其它两个条件.
活动四：精讲点拨
例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
D
C B
变式提升：
如图：在三角形ABC中D是BC边上一点，AD=BD,AB=AC=CD,求△ABC各角的度数。
课堂检测：
1.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
错误！未找到引用源。
2.如图2，在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
3.如图3，∠AOB是一个钢架，点C，E，G在OA上，点D，F在OB上，若∠O=15°，且OC=CD=DE=EF=FG，求∠AGF的度数。
1 2 3
三、小结：
1.本节课你有哪些收获？
2.你有哪些温馨的提示要告诉你的同学呢？
3.本节课你对你的表现满意吗？你有感到高兴的地方吗？还有什么感想呢？
四、作业
必做题：课本81页第1题，82页第4题。
选做题：课本83页第13题。
@课题：“利用平面直角坐标系内已知一边构造等腰三角形的方法解决实际问题”
教学设计
单位：房山区河南中学
姓名：张福强 电话：13466352518
一、指导思想与理论依据
随着教育观念的更新，和新一轮教学改革的不断深入，为了培养和提高学生用数学思想方法解决实际问题的能力和探索创新的能力，大量联系实际的问题在数学中不断涌现，也成了中考的热点问题。随着素质教育的全面推进，“创新精神与实践能力”的培养已成为素质教育的核心，数学建模的意识和能力就是“创新精神与实践能力”在数学教育领域的具体体现，是一种重要的数学素质。我在教学改革与实践中，努力实现数学建模能力的培养与新课程新教材知识体系之间的互补与平衡，形成操作性较强的数学课堂教学模式，促进学生的数学建模意识、信息交流、思维品质等数学素质的提高，为学生的自主学习、发展个性打下良好基础。
二、教学内容分析：
数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形属于结论开放的几何问题，解答这些开放性数学题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法，而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。再一摸考试中，考察了这个知识点，虽然大部分学生已经掌握方法，但真正应用还是有些困难。本节课以此为契机，引领学生突破这道应用难关，实现方法的迁移与应用。培养学生化归思想。
三、教学背景分析
1、学生情况。本班学生共有28人，有28人是参加一模考试 ，具有较好的学习习惯和学习基础；有10多个学生对数学有着浓厚的兴趣，具备优秀的学习方法和思维习惯，课堂上积极举手发言，和老师配合默契；有6人在学习习惯、学习基础上和其他同学相差较大，在听课、做练习时比别人反应慢，每次测验都有4人左右不及格。
2、教学内容的选择。根据新课标和中考说明的要求和新教材的特点，结合本次大兴区第一次模拟考试第23题第三问，本节课提出了一个问题，选择了两道例题，使学生感受数学建模的思想，从而激发学生学习数学、应用数学的意识。
3、教学方式的选择
⑴把课堂还给学生。通过学生，独立思考与合作交流的学习方式，使学生能平等的交流各自的数学理解；在讨论交的过程中，师生、生生之间产生思维的碰撞和火花，取得1+1＞2的效果。
⑵让学生课前参与。有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，同学之间相互帮助，使学有余力的同学得到有效的锻炼，使学有困难的同学学有所得。
⑶让学生自我小结。通过学生自我反思总结，把数学知识和思想纳入到自己的知识体系当中；通过多个同学的总结，也可以相互影响、对比，认识到自己的进步和不足，也可以段学生的表达能力和归纳概括能力。
四、教学目标：
1、掌握等腰三角形两腰相等的性质。
2、探索并学会在平面直角坐标系内已知一边取点构造等腰三角形的方法. 3、让学生体会基本作图的重要性。
4、经历探索构造等腰三角形的过程，在简单的操作活动中发展学生的合作意识、说理意识、主动探究的习惯，激发他们的求知欲，通过合作获得成功的体验。
5、在构造等腰三角形问题中，经历由两定一动，到一定两动的探索过程，，强调基本概念的重要性，培养学生的化归、分类讨论的数学思想。
五、重点：学会构造等腰三角形的方法。
六、难点：利用分类讨论的数学思想解决数学问题。
五、 教学过程：
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