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人教版初中数学教科书的第十八章《平行四边形》的主要内容有：（一）平行四边形的定义、性质和判定；（二）特殊的平行四边形（矩形、菱形和正方形）的定义、性质和判定，通过学习这些内容，同学们将对几何图形中的一类重要图形――平行四边形有更深入的认识.
一、一般平行四边形的定义、性质和判定
1.定义
同学们在小学数学中已经接触过平行四边形.在现实世界中，形状为平行四边形的物体比比皆是.图1是一个花坛的平面图，它由三种形状不同的平行四边形组成.每种平行四边形各有4个，安排在不同的位置上，
一种几何图形的内涵式定义，是对这种图形最基本的特征的揭示.尽管有形形色色的平行四边形，但它们都有共同的最基本的特征，即“两组对边分别平行”.于是，平行四边形就被定义为：两组对边分别平行的四边形.
2.性质
研究图形的性质，就是在确定考查的对象是某种图形后，再考虑还有哪些结论适合于它.虽然一种图形的定义给出了这种图形的最基本的特征，但是定义本身不一定能够直接反映出这种图形的所有性质.通常，我们可以利用定义进一步推导出图形所具有的最基本特征之外的其他特性，根据平行四边形是“两组对边分别平行的四边形”，利用三角形全等就可以推导出平行四边形的“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等一系列性质.在这些性质的推导过程（如图2）中，三角形这一最简单的多边形发挥了重要的作用.
实际上，图形的所有性质都是由图形的定义确定的.虽然定义本身并未直接表述出所有的性质，但是在定义中已经隐含了它们.以定义为出发点，可以逐步推导出所有的性质.教科书中通常在给出一种图形的定义后，会继续讨论由它能进一步推出哪些结论，即得出经常会用到的这种图形的某些主要性质.当然，这种图形很可能还有一些教科书未曾提及的其他性质.例如，平行四边形除了具有教科书中所说的“对边平行且相等”“对角相等”“对角线互相平分”等主要性质之外，还有“对角线的平方和等于四条边的平方和”这个性质.它可以证明如下，
如图3，作平行四边形ABCD的高线DE.CF.利用全等三角形可以证明AE=BF.
3.判定
图形的判定，是讨论图形时须研究的另一类问题.这是指，当一个对象满足哪些条件时，就可以确定它属于某种图形的范畴.例如，当一个图形满足哪些条件时，就可以确定它是平行四边形.除了用是否符合定义来判断一个对象是否属于某种图形的范畴之外，还可以通过检验对象是否满足定义以外的一些其他条件，来完成这样的判断.这样的条件叫做判定条件.所谓判定条件，就是可以由其推导出“定义巾的条件”的那些条件，例如，我们看一个四边形是否为平行叫边形，可以看它是否满足“一组对边平行且相等”或者“两组对边分别相等”或者“两组对角分别相等”或者“对角线互相平分”，因为由这些条件叶1的任何一个条件，都可以推导出四边形的“两组对边分别平行”，所以满足上述任何一个条件的四边形都是平行四边形.在得出这些判定条件的推导过程中，同样利用了全等三角形，例如，由四边形的“对角线互相平分”，通过全等三角形，可以推导出“对边互相平行”（图4）.
4.“性质”和“判定”的关系
图形的性质和判定，是两类不同的问题，讨论一种图形的性质，是在确定对象已经是某种图形的前提下进行的；讨论一种图形的判定，是为了确定对象是某种图形.有时，在分析某个问题的过程中，这两类问题都会出现.请看下面的问题.
已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，试问：四边形ABCD的四条边与两条对角线有什么关系？
由对角线AC和BD互相平分，可以知道四边形ABCD是平行四边形.由此又可以知道AB?+BC?+CD?+DA?=AC?+BD?，即四边形ABCD的四条边的平方和等于对角线的平方和.
在这个问题的分析过程中，既有“判定”又有“性质”.第一步是判定四边形ABCD是平行四边形，第二步则是应用了前面说过的平行四边形的性质，
一种图形具有某条性质，是否就可以反过来把这条性质当作这种图形的一个判定条件呢？不是，并不是一种图形的每个性质都可以拿来作为这种图形的判定条件的.例如，平行四边形也具有“内角和为360°”的性质，但这是任一四边形都具有的性质，所以它并不能作为平行四边形的判定条件.有些性质是平行四边形所独有的，其他图形不具备，例如“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等，这样的性质才可以反过来作为平行四边形的判定条件，
二、特殊平行四边形的定义、性质和判定
矩形、菱形和正方形是三种特殊的平行四边形.
1.定义
特殊图形的定义方式，通常是以一般图形为基础，再加上特殊图形的最基本的特征.这些特征是区别特殊图形与其他图形的标志.
特殊平行四边形的定义结构：
同学们会发现，矩形和菱形都是以平行四边形为基础再加上特殊限定条件而定义的，所以它们是特殊的平行四边形.而正方形显然是在四边形的基础上定义的，为什么也说它是特殊的平行四边形呢？正方形即正四边形，而正n边形统一定义为“n条边都相等，n个角都相等的n边形”，所以正方形采川了如上的定义.但由正四边形的“四条边都相等”或“四个角都相等”，都可判定正四边形是平行四边形，所以正方形是特殊的平行四边形，而且它兼具菱形和矩形的基本特征.它是特征更多的平行四边形.
四边形、平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系如图5所示.图6也能表示平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的包含和从属关系.
2.性质
特殊平行四边形除了具有一般平行四边形的性质之外，还有它自己的特性，从特殊平行四边形的定义出发，利用它的最基本的特征，还可以进一步得出一些其他特性.这些推导要用到一般平行四边形的性质以及全等三角形的性质等.
3.判定
特殊的平行四边形除了可以根据定义判定之外，还有一些其他的判定条件，推导这些判定条件要用到一般平行四边形的性质以及全等三角形的性质等，边、角和对角线是四边形中的基本元素，也是判定条件中的考查对象，只有当它们满足判定条件中的全部要求时，才能作出判定.只满足判定条件中的部分要求时，则不能下结论.例如，对角线要满足“相等”“互相垂直”“互相平分”三个条件时，才能判定四边形是正方形.如果只知道一个四边形的“对角线相等且互相垂直”，则不能轻易断定该四边形是正方形，图7的筝形就是反例，它的两条对角线相等且互相垂直，但不满足“互相平分”，显然它不是正方形，也不是平行四边形.