广猛说题中考数学_《广猛说题系列之几道压轴题的共通之处（旋转那些事）》（下集）

《上集》中主要介绍了一道“模型”题，分别介绍了六种解法，本文将看看这些模型在中考实战中的重要作用！

另外值得一提的是，《上集》中虽然每个模型不管怎么构造“双等边三角形”都行，但本人还是倾向于在原有的等边三角形的形外作另一个等边三角形，原有主要是考虑到尽可能不要图形中交叉线条过多，容易看的眼花缭乱！大家可以去《上集》中再温习温习！

题2：（来源：高邮市赞化学校《中考指要》第18课自我评估）

已知等边三角形ABC.

（1）如图3-1，P为等边三角形ABC外的一点，且∠BPC=120°，试猜想线段PB、PC、PA之间

的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图3-2，P为等边三角形ABC内的一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC>BD.

简析：对于第（1）小问，本人作品《旋转那些事》中正是以这个模型开题的，有兴趣的同学可以自行参阅；

正如题1中所提的“今日说法”那样，在等边△ABC的任意一个顶点处并依托于此顶点出发的第三条线段任意做一个等边三角形，本质就是绕着原有等边△ABC的任意一个顶点将此顶点出发的第三条线段顺转或逆转60度，从而构成“共顶点的双等边三角形模型”，借助“旋转相似（全等）一拖二”，可顺利解出此模型；

共计6种方案，下面提供其一：如图3-1-1及3-1-2所示，可得结论PB+PC=PA；

对于第（2）小问，这里给出解决此问的两种方案：

方案一：

第一步：如图3-2-1，在点A处，依托于AD向外构造“双等边三角形模型”；

第二步：如图3-2-2，由“旋转相似（或全等）一拖二”知△ABD≌△ACE，从而将目标线段BD转化为CE；

第三步：如图3-2-3，由条件∠APD=120°识别到第（1）小问中的“等边三角形ADE对120度模型”，从而直接有PA+PD=PE，将目标中的两条线段转化为一条线段；

第四步：如图3-2-4，在△CPE中，由三角形的三边关系立知：PE+PC>CE，即有结论：PA+PD+PC>BD.

解题后反思：本题图3-2中，已有一个等边三角形ABC，另外A点出发还有两条线段AP与AD，B点出发还有一条线段BD，C点出发也有另外的两条线段CP与CD，这共计五条线段可以说都是我们构造“共顶点的双等边三角形模型”的“嫌疑犯”！但综合考虑到另一个条件∠APD=120°，本题最终选择了“嫌疑犯”AD，向其右上方构造另一个等边三角形ADE，好处有：一方面构造了“共顶点的双等边三角形模型”，结合“旋转相似（或全等）一拖二”，将目标线段BD顺利转化为CE；另一方面还同时构造了图3-1中的“等边三角形对120度模型”，即四边形AEDP，直接化归为前面的结论，从而顺利将目标线段PA与PD的和直接转化为PE！这样就将所有的目标线段集中在了△CPE中，体现了数学解题的“集中转化原则”，顺利搞定此题！

本题按出题者的本意，估计应该就是上面这个解法，因为它能很好地体现出题目设问方式的“步步为营、环环相扣”，即递进式地设问方式，解题时经常要采取“回头看”策略！但遗憾的是，此题稍有漏洞，下面有一个更简单的方式直接得解！

方案二：如图3-3-1，连接BP，因为点P为等边三角形ABC内的一点，在△CPA中易知PA+PC>AC；且易知AC=BA>BP，这是源于几何的直观；从而如图3-3-2所示，在△BPD中易知BP+PD>BD；因而有PA+PD+PC=（PA+PC）+PD>AC+PD>BP+PD>BD成立，得解.

上述两种方案，都是处理此道题目的“良策”，尤其是方案一种设计的题目中每个问题之间的联系等值的学生认真琢磨、研究！两个问题都可以通过构造“共顶点的双等边三角形模型”解决！

 题3：（来源：高邮市赞化学校《全品作业 听课手册》，2016年河南中考倒二题）

（1）发现：如图4-1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．

    填空：当点A位于　     　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　   　（用含a，b的式子表示）；

    （2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图4-2所示，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE．

 ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；    

②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展：如图4-3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

简析：（1）此题利用“三角形的三边关系”或者“轨迹思想”可以得解；

笔者更偏爱“轨迹意识”，如图4-1-1，将BC想象成定线段，点A想象成动点，则动点A被“绑在”了以B为圆心，b为半径的⊙B上，从而CA的最值问题转化为学生熟知的定点到圆上的最值问题：当点A跑到了CB的延长线上时，CA取最大值a+b.顺带可解决最小值问题，当点A跑到了线段BC上时，CA取最小值a-b（假设a>b）.

另外需要说明的是，其实“轨迹思想”，即点到圆上的最值问题其本质解释还是“三角形的三边关系”或者说是“两点之间，线段最短”，这一点逻辑性需要学生稍加体会（也不必过于纠结）！

（2）如图4-2-1，这是一个典型的“共顶点的双等边三角形模型”，结合“旋转相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△ABE≌△ADC，如图4-2-2所示，从而目标线段BE等于DC；

要求BE的最大值，只需求DC的最大值，最后锁定到△BCD，如图4-2-3所示，利用（1）中的结论可直接得到：当点D跑到了CB的延长线上时，DC取最大值4，即所求BE的最大值为4，得解；

下面重点解决第（3）小问，这里提供两种方案：

方案一（本质解释：绕直角顶点P顺转90度）：

第一步（构造“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”）：如图4-3-1，题中已有一个等腰Rt△MPB，直角顶点P处还有一条线段PA，依托直角顶点P及线段PA，向右下方构造另一个等腰Rt△APQ，组成所谓“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”；

第二步（利用“旋转相似或全等一拖二”）：如图4-3-2，由“旋转相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△MPA≌△BPQ，从而将目标线段AM转化为QB；

第三步（利用前面的结论直接解决问题）：如图4-3-3，要求QB的最大值，将目标聚焦在已知两边长的△ABQ中，利用第（1）问的结论直接知BQ的最大值为3+2，如图4-3-4所示，再次用“轨迹圆”加以解释，反复提及，目的就是让同学们加深印象；

至于此时点P的坐标，只要依托于图4-3-4中确定的的AQ1为斜边向上方作等腰直角三角形AQ1P，则P点即为所求，不再赘述！

方案二（本质解释：绕直角顶点P逆转90度）：

第一步（构造“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”）：如图4-3-5，题中已有一个等腰Rt△MPB，直角顶点P处还有一条线段PA，依托直角顶点P及线段PA，向左上方构造另一个等腰Rt△APQ，组成所谓“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”；

第二步（利用“旋转相似或全等一拖二”）：如图4-3-6，由“旋转相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△MPQ≌△BPA，则QM=AB=3，从而将已知线段AB转化为QM；

第三步（利用前面的结论直接解决问题）：如图4-3-7，要求AM的最大值，将目标聚焦在已知两边长的△AQM中，利用第（1）问的结论直接知AM的最大值为3+2，至于此时点P的坐标，同理画图解决，不再赘述！

解题后反思：本题构造的“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，与前文中的“共顶点的双等边三角形模型”相得益彰，本质原理一模一样，都是“旋转那些事”，这两个特殊的“旋转模型”都是我们经常遇到的，希望同学们能够熟练运用，尤其是在已知一个等边三角形或者一个等腰直角三角形的前提下去构造另一个三角形，再去尝试分析解决！但需要特别提醒的是，凡事都无绝对，我们这里说的也仅仅是尝试去解决，或者至少是一种常见的分析问题的手法！

另外，在“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”中特别强调下“共直角顶点”，这种情形一般较为简单，容易理解！下面一道例题中会有一个“共45度锐角顶点的双等腰直角三角形模型”，其中有一个解决方案就是想办法转化为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，极其有趣！

题4：（题目来源：高邮市赞化学校九年级中考指要，2013年湖南常德压轴题）

已知两个共顶点的等腰三角形Rt△ABC和Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.

⑴如图5-1，当CB与CE在同一直线上时，求证MB∥CF；

⑵在图5-1中，若AB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

⑶如图5-2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME.

还记得这道题吗？本人作品《广猛说题系列之解题技巧篇（中点那些事）》中对其有详细解答与反思，忘记了就再温故下额！下面主要针对最一般的情形再作一次解读：

题4改编：已知两个共顶点的等腰三角形Rt△ABC和Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.当∠BCE为任意锐角时，如图5-3所示，求证：BM=ME且BM⊥ME.

简析：本题中含有一个“共顶点的双等腰直角三角形”结构，稍遗憾的是，这里是“共45度锐角顶点”啦！跟我们前面熟知的结构稍有些差异；

那能不能转化为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”呢？然后利用所谓“手拉手”式地“旋转相似（或全等）一拖二”尝试解决呢？试试看呗；

 第一步：如图5-3-1，将“共45度锐角顶点的双等腰直角三角形模型”补成“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”；

第二步：如图5-3-2，利用“旋转相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△ACG≌△DCF，从而易得FD=AG且FD⊥AG这一常见的结论（其中垂直证明，只需延长后结合“8字型”结构即得，不再赘述）；

第三步：如图5-3-3及图5-3-4所示，再结合已知中M为AF的中点，识别到两组“中位线结构”，利用两次中位线定理，可以将两条目标线段MB及ME顺利转化到了FD与AG上来，从而得到BM=ME且BM⊥ME这一深刻的结论，数学多么神奇啊！

解题后反思：上面解法中将“共45度锐角顶点”结构，通过“倍长”的方式，转化为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，过程有趣，流程清晰，同学们用心体会吧！

下面再提供另一种证法，最后其实还相当于构造出了“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”：

第一步：采取中点的常见处理策略“倍长中线”，如图5-3-5所示，构造出△ABM≌△FNM，从而易得AB=BC=FN，BM=NM且AB∥FN；

第二步：如图5-3-6所示，利用“SAS”可证明△CBE≌△FNE；

至于第二步中这组全等三角形的证明，很明显已经有两组边对应相等，但还有一组条件还需想一想，即这两组对边的夹角相等，可以利用AB∥FN得到：

如图5-3-7所示，延长AB、FE交于一点，则易知∠1=∠EFN，又结合“同角的余角相等”易知∠1=∠2，所以有∠2=∠EFN，从而全等得解，这样就很容易推出要求的结论了，不再赘述！

值得说明的是，我这里的图5-3-7中的∠BCE画的有些巧了，AB与FE延长线好像正好交于点E了，纯属巧合，即便不巧，同理可证，下面我会再举一个“正方形变式”，同学们再去体悟！

解题后反思：此法再证明出△CBE≌△FNE后容易证出△BEN也是一个等腰直角三角形，这样再次构造出了“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，如图5-3-8所示；

但值得一提的是，这里的“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”并不是我们“有意识”或者说直接去证明的，而是在“倍长中线”的基础上经过适当的证明，在最后才证出了这个结构；若是，先构造这个结构，那中点M就不好处理了，“二者不可兼得”，同学们需认真体悟！

下面再来一个变式，加深此法的应用：

题4改编变式：已知两个共顶点的正方形ABCD和正方形CGEF，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF.当∠DCF为任意角时，如图6所示，求证：MD=MF且MD⊥MF.

这里出现了一个“共顶点的双正方形”结构，我们知道正方形与等腰直角三角形存在着密不可分的结构，一步操作，即可变出我们熟悉的“味道”，连接AC、EC，如图6-1所示，为突出结构，这里隐去了无关的点B、点G（其实也可以反过来隐去点D、点F，同学们可以一试，并类比下）；

这样变式就完全变成了上面改编的原题，数学就是如此神奇，像变魔术一样，这就是数学中无处不存在的“转化与化归思想”！

解决这个模型，前文提供了两种方法，第一种方法交代很清晰，即把“共45度锐角顶点的双等腰直角三角形模型”转化为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，不再赘述；

而另一种“倍长中线”的方法中，因为图形画的太巧，不甚满意，下面针对此变式，重点讲解下这个方法，顺便加深同学们对此法的印象，巩固“遇中点，造倍长中线”的解题常见辅助线：

第一步：采取中点的常见处理策略“倍长中线”，如图6-2所示，构造出△ADM≌△ENM，从而易得AD=DC=EN，AM=EM且AD∥EN；

第二步：如图6-3所示，利用“SAS”可证明△DCF≌△NEF；

至于第二步中这组全等三角形的证明，很明显已经有两组边对应相等，但还有一组条件还需想一想，即这两组对边的夹角相等，可以利用AD∥EN得到：

如图6-4所示，延长AD交FE于点T，则易知∠FTD=∠FEN；再结合一组“8字型”结构易知∠FTD=∠DCF，所以有∠DCF=∠FEN，从而全等得解，这样就很容易推出要求的结论了，不再赘述！

至此，此模型得到完美解释！

最后一个变式中，正方形到等腰直角三角形的转化也很精彩，探索的大门已向同学们敞开，去吧，加油！

本文到这其实基本就告一段落了，但笔者还想啰嗦几句，把前面的模型再作一般化处理，先化到“共顶点的双等腰三角形模型”，再化到最一般情形下的“共顶点的相似三角形模型”，即一般意义上的“旋转相似一拖二模型”！

本人作品《广猛说题系列之解题思想培养篇（轨迹思想）》中有这样一道中考真题，现摘录如下（保留原始数据）：