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摘 要： 本文针对目前江苏高考中电磁感应中微元法的应用进行了深入浅出的分析。首先对微元法的定义和步骤作简要的分析。然后把电磁感应中出现的题目作了简要的分类：（1）导体棒所受的合力为单一安培阻力。（2）安培阻力与物体速度成正比，导体在受到安培力的作用下和一个恒定外力的作用下做变加速运动。（3）导体棒由于切割磁感线产生感应电流，受到安培阻力作用做变加速运动，安培力与速度的不成正比。对每种题型作了详尽的分析，并且得出了更易于学生接受的推论。此方法已经在教学实践中加以应用，并收到了良好的效果。
关键词： 微元法 电磁感应 应用
一、背景
微元法是中学物理中的一种重要的思想方法。从近几年的江苏省的高考试题来看多次出现应用微元法解决电磁感应的题目，如2006年最后一题，2007年最后第二题，2008年的最后一题，2009年最后一题。说明在江苏高考中微元法占有相当重要的地位。在大学普通物理中，许多问题的求解都要用到“微元法”的思想。因此微元法非常重要。我在教学过程中发现，学生对微元法的理解不够深入。学生对微元法什么时候用，为什么要用，怎样用微元法往往是一知半解，在考试中乱用一气。在电磁感应与力学综合题中，导棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势，进而产生感应电流。导棒中的感应电流在磁场中受到了安培力的作用。而安培力与物体的速度有关，安培力是变力，进而使导棒做变加速运动。当求导棒在一定时间内发生的位移，或发生一定位移时需要的时间，由于导棒发生变加速运动，不能应用匀变速运动规律来求解，这为微元法的应用提供了非常好的素材。因此本文借助于电磁感应中的力学问题的素材来研究微元法的应用。本文主要讨论两个方面：一是怎样引导利用微元法来解题；二是就电磁感应中利用微元法解答的几种题型作初步的探讨。
二、微元法的定义
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
三、微元法的解题步骤
1.分割取对象。选取微元用以量化元事物或元过程；微元可以是一小段线段、圆弧，一小块面积，一个小体积、小质量，一小段时间……但应具有整体对象的基本特征。
2.近似用规律。视元事物或元过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式。
3.取极限求和。在微元表达式的定义域内施以叠加演算，进而求得待求量。
四、微元法在电磁感应解题中的应用
【题型一】:导体棒所受的合力为单一安培阻力，安培阻力与物体速度成正比
例1.如图1，水平放置的导体电阻为R，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v向右运动。
①导体棒将做什么运动？
②请描绘出运动的v-t图像。
③能否求出这个过程的总位移呢？
【分析】教师引导学生分析导体棒在安培阻力的作用下做加速度减小的减速运动。绘出速度时间图像，如图2所示。学生发现，导棒运动的时间不知道，导棒的速度随时间作非均匀的变化。不知道怎样求位移。教师让学生意识到整体来求位移无法下手，引导学生思考：如果导棒做匀减速运动，怎样求导棒的位移呢？学生会想到用匀变速直线运动的位移公式。然后引导学生回忆匀变速直线运动的位移公式怎样推导出现来的，学生能回忆起把物体的运动分为几个小段，用每一段的时间乘以每一段开始时的瞬时速度，然后用这些乘积求和就代表了物体的位移。但是分的段数越少，误差越大。当把段数分得足够多，每一段时间足够小时，这些乘积之和就是匀变速直线运动的位移。可以看到，实质上上述分析过程用到了微元法中间的分割取对象――把宏观时间分割为微观时间，近似用规律――每一个微观时间内的位移等于相应的微观时间与相应的速度乘积，取极限求和――把所有的微观乘积求和即为匀变速直线运动的位移。但是在真正求匀变速直线运动的位移时，由于速度随时间作线性变化，梯形面积可用几何方法直接求得，问题得到解决。但此题的曲边三角形的面积不好直接求。因此必须利用物理规律定量写出微小时间内位移的表达式。通过刚才的引导，学生意识到由于速度的不均匀变化不能整体地求出位移，应当类比匀变速直线运动位移公式的推导，先把整个过程分为无数个微小的过程，即微元法的第一步。还应该使学生认识到每一微小的时间内导体棒受到的合外力都只是安培力，只不过在不同的微小的时间段内导体棒受到的安培力的大小不同而已，也就是在每个“元过程”所遵循的规律是相同的。我们只需分析这些“元过程”，然后求出相应元过程所对应的元位移。最后把所有的元位移求和，就得到结果。
【解答】1.分割取对象
从t时刻到t+Δt取一元过程，Δt极小，由于元过程对应的时间很短，可以把这一过程看作是匀速直线运动，则在这一元过程的元位移Δx=vΔt，设vi为t时刻的瞬时速度，a是该元过程的加速度。
2.近似用规律
根据牛顿第二定律：-=ma…①，得：-=m…②，化简得-vΔt=mΔt…③.
3.取极限求和
-∑vΔt=∑mΔv…④，-∑vΔt=m∑Δv…⑤，-∑Δx=m∑Δv…⑥，-x=m（v-v）…⑦.由于导棒的末速度为零，则上式可以化为x=mv…⑧，最后得到结果x=…⑨
【推论1】由上面的推导过程中的第⑦式，我们可以看到导体棒所受的合力为单一安培阻力。安培阻力与物体速度成正比，如果某在一宏观过程中用v来代表初速度，用来v代表末速度，用x来代表位移，只要知道（v，v，x）中的任意两个物理量就可以利用微元法求得第三个物理量。我们可以把第⑦式变形为-x=mΔv…⑦*，还可以看出导棒每发生相同的位移x，则速度的改变量Δv是相同的。我们来看下面一题。
【推论应用1】（2007年江苏高考题）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B＝1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R＝0.1Ω的正方形线框MNOP以v=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
（1）线框ＭＮ边刚进入磁场时受到安培力的大小F。
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q。
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。
【分析】由于本文只研究微元法解题，因此我们只讨论第三问。
线框进入磁场时和离开磁场时在水平方向上只受安培阻力的的作用，使线框在水平方向的速度减小，而在线框全部进入磁场运动时穿过线框的磁通量不发生变化，没有感应电流，没有安培阻力，线框在水平方向上作匀速直线运动。所以线框在穿过每一个条形磁场过程中，有安培力存在时发生的位移为2l，磁感应强度B和导棒有效的切割长度L及回路的电阻R不变，则每穿过一个条形磁场线框的水平速度的减少量为定值。如果计算出每穿过一条形磁场的速度变化量就可以求出通过完整磁场区域的个数n。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 【解答】只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，线框部分进入磁场区域x时，感应电动势为E=Blv…①，感应电流I=E/R…②，安培力F=BIl…③。解得：F=…④。在t-t+Δt时间内，由牛顿第二定律-F=m…⑤，求和∑vΔt=∑Δx=m（v-v）…⑥，穿过一条形磁场的有效位移为2l，代入上式求得每穿过条形磁场速度的变化量Δv===1.6m…⑦，穿过的条形磁场区域的个数为n==4.4…⑧，可穿过4个完整的条形磁场区域。
【题型二】导体在受到安培力（安培阻力与物体速度成正比）的作用下和一个恒定外力的作用下作变加速运动。
例2.如图，水平放置的导体电阻为R，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m受到大小为F的恒力作用从静止开始向右运动。
①导体棒将做什么运动？
②请描绘出运动的v-t图像。
③末速度多大？
④若在t时刻，棒作匀速运动，求这段时间内的总位移。
【分析】教师引导学生分析加速度越来越小的加速运动，最终做匀速运动，外力F与安培力平衡。描绘出运动的v-t图像。由例一学生很容易想到用微元法来求导体棒在时间t内发生的总位移。
【解答】1.分割取对象
从t时刻到t+Δt取一元过程，Δt极小，由于元过程对应的时间很短，可以把这一过程看作是匀速直线运动，则在这一元过程的元位移Δx=vΔt，设v为t时刻的瞬时速度，a是该元过程的加速度。
2.近似用规律
根据牛顿第二定律：F-=ma…①，得：F-=m…②，化简得FΔt-vΔt=mΔv…③。
3.取极限求和
∑FΔt-∑vΔt=∑mΔv…④，F∑Δt-∑vΔt=m∑Δv…⑤，F∑Δt-∑Δx=m∑Δv…⑥，Ft-=m（v-v）…⑦。由于导棒的初速度为零，则上式可以化为:Ft-x=mv…⑧。由于在t时刻导棒已达到匀速直线运动，由安培力等于外力F可得F=…⑨，把⑨式代入⑧式得:x=-…⑩。
【推论2】由上面的推导过程中的第⑦式，我们可以看到导体在受到安培力（安培力仅是导体棒速度的函数）的作用下和一个恒定外力的作用下作变加速运动。如果某一宏观过程中用v来代表初速度，用v来代表末速度，用x来代表位移，用t来代表运动的时间。则可以利用微元法，只要知道（v，v，x，t）中的任意三个物理量就可以求得第四个物理量。
【推论应用2】（2009江苏高考物理）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为d（d＜l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。
求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。
【分析】此处我们只分析与微元法相关的第二问。我们可以画出如下图所示的俯视图，在线框通过磁场的过程中，也就是图中的a位置运动到b位置的过程中，整个装置在沿斜面方向受到沿斜面方面方向向下的恒力mgsinα和沿斜面向上的安培力F的作用做加速度减小的加速运动。依据前面的推论，在这一个过程中待求量为时间t，必须要知道初速度v0末速度vt和位移x，由题意易知初速度为0，位移x=2d，只要求得线框离开磁场时的速度v就可以依据微元法求得线框通过磁场的时间t，从线框离开磁场到导体棒进入磁场的过程中由于穿过“正”型装置的磁通量不发生变化，没有电磁感应现象产生，线框在沿斜面方向上只受重力的分力mgsinα作用作匀加速运动，至导体棒进入磁场后，“正”型装置在斜面方向上除受重力的分力mgsinα作用外还受到沿斜面向上的安培力F=BIL作用作匀减速运动。从图中的b到c过程可以利用动能定理求得线框刚离开磁场时的速度v。
【解答】设线框刚离开磁场下边界时的速度为v，则接着向下运动2d到C位置
由动能定理mgsinα×2d-BIld=0-mv…①
感应电动势E=Bdv…②
感应电流I′=E/R…③
安培力F′=BI′d…④
装置在磁场中运动时受到的合力F=mgsinα-F′…⑤
由牛顿第二定律，在t到t+Δt时间内，有mgsinα-F′=m…⑥
则mgsinα∑Δt-∑Δx=m∑Δv…⑦，
mgtsinα-×2d=m（v-0）…⑧。
由⑧有v=gtsinα-…⑨。
把①代入⑨解得:t=…⑩。
【推论应用3】（2008年江苏省高考物理）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d，间距为d。两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g）
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek。
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相同。求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q。
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。
【分析】此处我们讨论第三问，由题意分析可知，设导体棒a从图9A所在位置运动到图9B所在位置（即经过第二个磁场区域）的时间为t，导体棒a在第二个磁场内受到沿斜面方向向下的重力的分力mgsinα（恒力）和安培力F=作用，作加速度a=加速度减小的减速运动。与此同时在这一段时间内导体棒b从图9A所在位置运动到图9B所在位置刚好经过无磁场区域，导体棒b在这个过程中作加速度a=gsinα匀加速直线运动。由于a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相同。导体棒a在第二段相同时间t内在无磁场区域内作加速度a=gsinα匀加速直线运动从图9B所在位置运动到达图9C的位置。在相同的时间t内导体棒b刚好经过第二个磁场区域从图9B所在位置运动到达图9C的位置。为了满足两棒a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相同，那么两棒在每次加速后最大速度v和减速后的最小速度v都相同，两棒的速度―时间图像如图10所示。所以a穿出第k个磁场区域时的速率与a穿出第2个磁场区域时的速率v相同。根据推论2，导体棒a在经过第二磁场区域时，时间t不知道，初速度v不知道，末速度v是待求的物理量，除了位移x=d1是已知的。因此四个物理量中只有一个位移可知，其它三个量都是未知。因此需要找到关于三个未知量的三个方程才能解决问题。
【解答】a导体棒在无磁场区域中运动时，
根据匀变速直线运动规律v-v=gtsinθ…①
且平均速度=d…②
a导体棒有磁场区域
棒a受到合力F=mgsinθ-BIl…③
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 感应电动势ε=Blv…④
感应电流I=…⑤
解得：F=mgsinθ-v…⑥
根据牛顿第二定律，在t到t+Δt时间内
∑Δv=∑Δt…⑦
则有：∑Δv=∑［gsinθ-］Δt…⑧
解得：v-v=gtsinθ-…⑨
联列①②⑨式，解得：
v=v=sinθ-。
【题型三】导体棒由于切割磁感线产生感应电流，受到安培阻力作用作变加速运动，安培力与速度不成正比。
例3.（2006年江苏高考物理）顶角θ=45°的导轨MON固定在水平面内。导轨处在方向竖直的磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v延导轨MON向右滑动。导体棒的质量为M，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨接触点为a和b。导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。和t=0时，导体棒位于顶角O处，求：
（1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式。
（3）导体棒在0-t时间内产生的焦耳热Q。
（4）若在t时刻将外力F撤去，导体最终在导轨上静止时的坐标x。
【分析】导体棒在切割过程中，导体棒的有效切割长度l=vt与时间成正比，整个回路的电阻R＝（2x＋x）r=（2+）vtr与时间成正比。则感应电流I==为定值。导棒受的安培力F=BIl=是有效切割长度l和速度v的函数。当t时刻将外力F撤去后，导棒在安培力作用下作变加速的减速运动。由于Δx=vΔt，所以lvΔt=lΔx=Δs。Δs是导体棒在Δt时间内导体棒扫过的面积。
【解答】撤去外力时，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，取很短时间Δt或很短距离Δx，导体棒在Δt时间内扫过的面积是Δs，导体棒扫过的总面积ΔS。
在t―t+Δt时间内，由牛顿第二定律得:
-=m…①
-∑（lvΔt）=∑mΔv…②
-∑Δs=∑mΔv…③
ΔS=mv…④
导体棒扫过的总面积:ΔS==…⑤（x=vt），
由④⑤可得x＝+（vt）。
由上面的分析我们可以得到如下结论。当导体棒满足题型一所述的条件时，由微元法可推导得推论1：-x=m（v-v）…①和-x=mΔv…①*，由①可得题目的待求量为（v，v，x）中的一项，如例一是已知导棒的初速度与末速度由导棒的位移。由②可得题目的待求量可以是已知导棒（线圈）的位移求速度的变化量，进而求得通过的条形磁场的个数。如推论应用1。当导体棒（线圈）满足题型二所述条件时，由微元法可推导得推论2：Ft-x=m（v-v）…②。由②可得题目的待求量为（v，v，x，t）的一项。如例2中已知v，v，t，求x。推论应用2中待求量是时间t，已知量为初速度和位移，还有末速度通过后的过程中应用动能定理求得。推论应用3中的待求量是导棒的末速度v，但其它三量只有位移明显可知。因此找到三个有关于v，v，t的关系式使问题得于求解。从题型二可以看出关键要分析在变加速度过程中的（v，v，x，t）这四个物理量。哪个是待求量，然后找出其余三个物理量，利用微元法可以解题。当导体棒满足题型三，则设法用换元的方法，如例3把微元化为面积元，使问题求解。当然题目是千变万化的，我们不只局限于分析。在此我只是通过对近几年高考试题的分析，使同学们能从宏观上把握电磁感应中微元法的应用。
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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