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摘 要： 本文介绍了几种常见彩票的玩法，运用数理统计方法比较分析了它们的中奖概率，大奖的期望额，中奖金额收益率等，并探讨了中奖号码的数字之和的数学期望，中奖号码中有重复数字的概率，相邻两期中奖号码数字有重复的概率，中奖号中有连号出现的概率，根据结果为彩民投注提供了一些可行性的建议。
关键词： 概率统计 彩票 应用
近年来，我国的彩票市场蓬勃发展，运营机制日趋成熟，彩票作为一种建立在机会均等基础上的娱乐游戏，愈来愈得到广大市民的支持与参与，逐渐成为许多市民生活中的一部分，也引起了很多专家学者的关注和研究［1］.本文对几种常见的彩票方案从理论上做了数理分析，并有针对性地提出了购买建议，相信对众多彩民认识彩票的相关知识会有一定的帮助.
一、常见的彩票分类与设奖方案
彩票的发行有多种方案，常见的彩票销售规则主要有“传统型”和“乐透型”两类，本文选取了传统型“10选6+1”、中国福利彩票“七乐彩（30选7）”、“双色球”和中国体育彩票“36选6+1”这几种典型的方案为例来进行探讨.
1.传统型“10选6+1”
玩法：先从0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个；然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码.投注者从“0~9”10个号码中任选6个基本号码（可重复），从“0~4”中选1个特别号码，构成一注，中奖规则如下表1.
表1 “10选6+1”方案中奖号码与中奖等级说明
（假设中奖基本号为123456，特别号为0）
（备注：按照顺序.其中：△表示不中的号码；？表示可中可不中.）
2.乐透型
（1）“30选7”和“36选6+1”
玩法：“乐透型”有多种不同的形式，以“30选7”和“36选6+1”为例.“30选7”：先从“01~30”这30个号码中摇出7个基本号码，再从剩余的23个号码球中摇出一个特别号，构成中奖号码.投注者从“01~30”这30个号码中任选7个，不考虑号顺序组成1注（不可重复）.“36选6+1”：先从“01~36”这36个号码中摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码.从“01~36” 36个号码中任选7个，不考虑号顺序组成一注（不可重复）.两种方案的中奖等级如下表2所列.
表2 30选7与36选6+1方案的中奖号码及中奖等级说明
（备注：顺序不限.其中：●表示选中的基本号码，○表示未选中的基本号码，★表示选中的特别号码.）
（2）“双色球”
“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1―33中选择；蓝色球号码从1―16中选择.中奖等级如下表3所列.
表3 “双色球”方案的中奖号码及中奖等级说明
（备注：顺序不限.其中：●表示选中的红色球，○表示未选中的红色球，★表示选中的蓝色球.）
3.彩票各项奖金的设置方案
各种彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖，则不再兼得低级别的奖.一般其中前面的一、二、三等奖为高项奖，按比例分配，后面的为低项奖，奖数额固定，分配方案如下表4所列.有多人同时中得高项奖时，中奖人平分高项奖的奖金.各高项奖的奖金额计算方法为：
［（当期销售总额×总奖金比例）－低项奖奖金总额］×单项奖比例.
表4 彩票各项奖金分配方案
二、彩票方案的数理分析及相应投注技巧建议
1.单注彩票中奖概率［２］
在摇出中奖号码的过程中，中奖号码发生的事件，以及各种号码出现的概率是相互独立的，是等概率的，这是一个古典概型的问题.由古典概型得，中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数.从而，我们可以分别对传统型和乐透型彩票各奖项的中奖概率进行探讨.
（1）传统型彩票“10选6+1”
传统型“10选6+1”彩票的中奖规则，实质为排列组合的问题. 各等级中奖概率如下：
（2）乐透型彩票
由于乐透型彩票不考虑顺序问题，因此这是单纯的组合问题.［２］
①“30选7”与“36选6+1”的中奖概率
②“双色球”的中奖概率
通过计算，以上几种形式的彩票，每期开奖中奖机会分别为：每1000个人中有46，33，16，67人能中奖，“双色球”的中奖率最高，所以“双色球”是当前比较流行的一种“乐透型”福利彩票.“双色球”中奖概率高完全是由于蓝球产生的，因为六等奖只需中蓝球，而它的概率高达5.887%，从而提高了“双色球”整体的中奖率.其实“双色球”一等奖中奖概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率，其一等奖的中奖概率为5.6430×10，是普通乐透型彩票“36选6+1”一等奖中奖概率1.1979×10的0.471，连一半还不到.
彩民们要以良好的心态和自己的收入水平来购买彩票，收入较高的彩民，承受风险的能力较强，可以购买那些大奖金额高、中奖率相对较低的彩票，如“30选7”和“36选6+1”；而收入较低的彩民，承受风险的能力有限，适合购买那些中奖面宽的彩票，如“10选6+1”和“双色球”；喜欢高项奖的概率大一点则可以选择“10选6+1”和“30选7”.
2.彩票中奖奖金额的影响因素
彩票中奖奖金额的期望依赖于两个因素：一个是各个奖级的中奖概率，这在前面已经计算得到了；另一个是各奖级的奖金金额.其中低项奖奖金固定，而高项奖（一般为一、二、三等奖）的奖金是浮动的.根据规定，一般来说，它又与三个因素有关：一是当期奖金总额，即销售的彩票总注数；二是上期“奖池”中的累积奖金；三是滞留下期“奖池”的奖金.
既然高项奖的奖金额受当期奖金总额的影响，那么中大奖的期望额与当期彩票的销售额是否存在较大的关系呢？
定理：大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定，与销售额无关.
证明：设某期销售总额为N,k表示返奖比例（一般取k=50%），则由已知的彩票奖金分配方案，可以计算各等奖的奖金期望额S（i=1,2,3），（这里以一、二、三等奖为高项奖为例，后面的单注彩票的中奖金额收益率讨论时同此）
S=（k•N-PS）•r/•p（i=1,2,3）（1）
化简得：
S=（2k-PS）•r/p（i=1,2,3）（2）
（2）式中p（j=4,5,6,7）表示第j等奖的中奖概率，S（j=4,5,6,7）表示第j等奖的奖金额，r（i=1,2,3）表示第i等奖占高项奖的比例，p（i=1,2,3）表示第i等奖的中奖概率.
可见，S与N无关，说明一旦方案给定，其各奖项奖金的期望就均已确定，不会受销售额的影响. 但对于彩民来说，了解彩票以往的销售情况又是非常必要的，若某种彩票连续几期不出大奖，奖池奖金不断积累，这时中奖后的回报率是很高的；反之，若本期出了头奖，减少下期购买数量也是明智的选择.当然，每注彩票的中奖概率仍然是均等的.
3.单注彩票的中奖金额收益率
设当期彩票售出n注,研究每注彩票的收益率.由于当期彩票的总奖金与所售的彩票注数n有关,n 注彩票中,获得第i等奖的中奖注数ξ是随机变量,且ξ服从二项分布b（n;p）,即：p（ξ=k）=Cp（1-p）.
由伯努利大数定律可知：当n足够大时，ξ近似服从正态分布：f（x）=e，
其期望与方差分别为：μ=Eξ=np；σ=Dξ=np（1-p）
设X（i=1,2,3）表示i等奖中奖注数，x（i=1,2,…,7）表示每注彩票第i等奖的奖金额，记：Y=ξx+ξx+ξx+ξx. 再由ξ的独立性，有：
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 E（Y）=xE（ξ）+xE（ξ）+xE（ξ）+xE（ξ）=xE（ξ） （i=4,5,6,7）
于是由高项奖的计算公式，得高项奖的第i等奖的奖金额x（i=1,2,3）为：
x=r（n-ξx） （i=1,2,3） （3）
其中r（i=1,2,3）表示第i等奖的奖金比例.若?�表示i（i=1,2,3）等奖是否被取走，则?�服从两点分布.?�=0表示第i等奖没被取走，?�=1表示第i等奖已被取走，其分布率为：
P（?�=0）=（1-p）,P（?�=1）=（1-p）
若ξ表示取走的奖金总额，ξ=x?�+ξx它是一个随机变量，ξ/n则表示单注彩票的收益率.基于彩票的总奖金比例一般为销售额的50%，单注彩票金额为2元，首先分析ξ/n的数学期望E（ξ/n）：
E（ξ/n）==
=px+E［（n-ξx）r?�］
=px+rE（?�）-E［ξx?�r］
=px+［1-（1-p）］•r-p［1-（1-p）］•xr
（4）
利用上面的公式（4），可以求出在不同n值下每注彩票的平均收益率.通过计算，不难发现，随着n的增大，平均收益率趋于值1.
实际上E（ξ/n）定量地体现了该种方案对彩民的吸引力大小，即在给定的方案下（单注中奖概率p不变），彩民自然希望E（ξ/n）越大越好，所以我们把它作为衡量方案好坏的标准之一.利用上述通式，每注“乐透型”彩票比“传统型”彩票的平均收益率大，而且乐透型彩票的趣味性也很高，它正逐渐成为世界彩票业的主流.
4.中奖号码的数字之和的数学期望
传统型体育彩票“10选6+1”方案，每一个中奖号码上出现0，1，2，… 9的概率都是0.1.所以，它的数学期望是（0+1+2+…+9）×0.1=4.5，所以6个基本号码的和的数学期望是4.5×6=27.这就是说，尽管每一个中奖号码是随机的，但是它的6个数字之和，其平均值为27，即中奖号码各个数字之和，在27附近的可能性较大.
同样的，乐透型“30选7”方案中每个基本号码（二位数）值的数学期望是（01+02+…+30）×=15.5，7个基本号码（二位数）之和的数学期望为15.5×7=108.5，即福利彩票“30选7”中奖号码的数字之和在108.5附近的可能性较大.
5.中奖号码中有重复数字的概率（以体彩“10选6+1”为例）
目前，全国大多数地区发售的传统型“10选6+1”体育彩票，其中奖号码是从0―9这十个数字中，可重复地抽取七个数字依次排列组成.由古典概型的概率计算方法，中奖号码中七个数字全部不同的概率为：=0.06048，那么，七个数字中至少有两个数字相同的概率为：1-0.06048=93.952%，即每注彩票七个数字中至少有两个数字相同的概率相当大. 所以彩民可以根据中奖号码中有重复数字的规律选号，以增加获奖机会.
6.福利彩票相邻两期中奖号码数字有重复的概率（以七乐彩“30选7”为例）
福利彩票的中奖号码很多期总有相同号出现，即上期中奖号与本期中奖号雷同. 以七乐彩“30选7”为例，本期与上期中奖号完全不同的情况共有C种，故本期与上一期中奖号数字完全不同的概率为：P=≈0.12042≈12.04%，因此与上一期中奖号码有相同号码出现的概率为：P=1-P=87.96%.我们通过对中国福利彩票七乐彩“30选7”从2008021至2008050这30期中奖号码进行统计发现，从第二期开始，与上期中奖号有相同号码的共26期，大约占86.67%，这与理论结果非常相近.
7.中奖号中一般有连号出现的概率（以七乐彩“30选7”为例）
以七乐彩“30选7”为例，我们先来计算中奖号码中没有连号的概率.假设某次中奖号是01≤a＜b＜c＜d＜e＜f＜g≤30，要想这七个数字彼此不相连的充要条件是：01≤a＜b-1＜c-2＜d-3＜e-4＜f-5＜g-6≤24，这也就是说，如果从01―24这24个数字中任取7个作为a，b-1，c-2，d-3，e-4，f-5，g-6这7个数字，那么就可以得到一个没有连号的中奖号码；反之亦然.所以，不连号的概率为：P1700088≈17%，所以出现连号的概率为83%.所以每注彩票七个数字中出现连号的概率还是比较大的.
三、结语
总之，每注彩票的中奖概率是均等的，但借助概率统计的原理，对号码可能出现的诸多因素进行预测分析，对投注号码进行取舍，在一定程度上也能够增加中奖机会.不过，统计分析是基于大样本数据的，只能解释长期的，趋势性的随机过程，对于某一次彩票开奖这样的随机时间预测，结果并不会令人满意.
参考文献：
［1］朱希伟．用统计方法研究彩票［M］．中国统计，2002，（12）：50-56．
［2］张华恩，奚砚涛．彩票中的概率和期望中奖额［J］．零陵学院报，2003，24（2）：31-33．
［3］韩中庚．数学建模实验与应用［M］．北京：科学出版社，2006．
［4］胡炳生．彩票中的概率统计问题［J］．中学数学教学，2004，（4）：9-11．
［5］薛春光等．彩票的数理分析及其应用［J］．统计与决策，2006，（1）：44-45．
［6］尹铁开，邹植民．电脑福利彩票中奖号码连号的概率［J］．数学统计与管理，2006，25（4）：492-493．
［7］高鸿业．西方经济学（第三版，微观部分）［M］ ．北京：中国人民大学出版社，2006．
［8］华东师范大学．数学分析（第三版，上册）［M］ ．北京：高等教育出版社，2004．
［9］魏宗舒．概率论与数理统计［M］．北京：高等教育出版社，2005．
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