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勾股定理是几何学中最著名的定理,也是世界上很多民族首先认识的数学定理.我国著名数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有人,我们可以发射一种关于勾股定理的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”.可见勾股定理不仅是数学的瑰宝,而且还是人类文明的一种象征.浙教版数学教材八年级上册在第二章中专门安排了教学内容学习勾股定理.笔者通过实践教学,认为对于初中学生而言,学习这一重要的定理可从以下几个方面来考虑.
一、勾股定理的证明
勾股定理的证明至今据说有500多种,其中容易被初中生明白接受的有以下两种证法:
证法1∶如图1,通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,从正方形面积的两种不同的算法,可得到4×ab2+(a-b)��2=c��2,从而推出a��2+b��2=c��2.这是三国时期吴国的数学家赵爽创制的一幅“勾股弦方图”,记载在《周髀算经》里,是我们祖国的骄傲.
证法2:如图2,通过梯形面积的两种不同的算法,可得到(a+b)2×(a+b)=2×ab2+c��22,通过推算也可得到a��2+b��2=c��2,据说图2是由美国第20任总统伽菲尔德创造证明的.��
通过上述的简单证明,我们就可以得到勾股定理:在一个直角三角形中,两条直角边边长平方之和等于斜边边长的平方.��如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么就有a��2+b��2=c��2.
二、勾股定理的常规应用
1.计算直角三角形的边长
由a��2+b��2=c��2还可变形为a��2=c��2-b��2与b��2=c��2-a��2,或直接写为c=a��2+b��2、a=c��2-b��2、b=c��2-a��2.因此,在直角三角形中已知任意两条边长,就可求得第三条边长.
例1 已知直角三角形中有两条边长为3与4,则第三条边长为.
解:此题的正确答案应为5或7,其中7是由当4作为斜边时而产生的,不能遗漏.
2.计算特殊直角三角形中三边的数量关系
由勾股定理容易计算几类常见的直角三角形中三边的数量关系.例如,在等腰直角三角形中的三边之比为1∶1∶2;��有一个30°的直角三角形的三边之比为1∶3∶2;正三角形的三边之比为1∶1∶1,进一步可推得边长为a的正三角形的面积为S正三角形��=34a��2;顶角为120°的等腰三角形的三边之比为1∶1∶3等等.
例2 已知等边三角形的边长为10,则它的高线长为,面积为.
解:由上述比例关系易得高线长为53,当边长为10时,S=253.
三、利用勾股定理作长为“无理数”的线段
利用勾股定理还可以作出一些长为“无理数”的线段,使学生进一步明白与体会到“无理数”确实存在的,并且是形象的、具体的,而不是抽象的、虚无的.
四、利用勾股定理构造勾股数据
所谓勾股数据指当三个正整数a,b,c满足时,我们称它们为勾股数据.常见的勾股数据有3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25等.
另外,形如3k,4k,5k;5k,12k,13k(k为正整数)等这样的一组数据也是勾股数据.
特别地,若三角形的三边长为2n+1,2n��2+2n,2n��2+2n+1,(n为大于1的自然数),那么,这个三角形必定为直角三角形,说明2n+1,2n��2+2n,2n��2+2n+1也是一组勾股数据,例如,可推广为9,40,41;11,60,61等.
例3 证明三个数a=2n+1,b=2n��2+2n,c=2n��2+2n+1(n为大于1的自然数)为一组勾股数据.
解:因为
a��2+b��2=(2n+1)��2+(2n��2+2n)��2=4n��2+4n+1+4n��4+8n��3+4n��2=4n��4+8n��3+8n��2+4n+1,c��2=(2n��2+2n+1)��2=4n��4+4n��2+1+8n��3+4n��2+4n=4n��4+8n��3+8n��2+4n+1.
所以(2n+1)��2+(2n��2+2n)��2=(2n��2+2n+1)��2.
即这三个数a=2n+1,b=2n��2+2n,c=2n��2+2n+1(n为大于1的自然数)为一组勾股数据.
五、勾股定理的逆定理
反之,如果一个三角形的三边a,b,c满足,则a��2+b��2=c��2,这个三角形必定为直角三角形.这是勾股定理的逆定理,可以用来判断三角形是否为直角三角形.
例4 下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m��2+n��2,m��2�Cn��2,2mn(m,n均为正整数,mn);④a��2,a��2+1,a��2+2.其中能组成直角三角形的三边长的是().
A.①②B.②③C.①③D.④
解:由勾股定理的逆定理可以判断出条件②与③的三边均满足a��2+b��2=c��2,故选B.
六、勾股定理在平面直角坐标系中的应用
在平面直角坐标系中,如果有两点的坐标P1(x1,y1),P2(x2,y2),则利用勾股定理可算得这两点之间的距离为P1P2=(x1-x2)��2+(y1-y2)��2.
例5 如果在平面直角坐标系中有两点A(2,2),B(-1,6),��则A、B间的长度AB=.
解:套用公式可以算出A、B间的长度AB=[2-(-1)]��2+(2-6)��2=5.
总之,与勾股定理有关的知识面非常广泛,在近几年的中考中还有许多新的题型加以体现,这些都需要我们不断地去探索与研究,并加以灵活地运用.��