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在“角的分类”一课教学中,当我引领学生们发现“锐角都是大于0度而小于90度”时,生1不由自主站起来说:“老师,我发现最大的锐角是89度。”
生2(马上反驳):89.5度也比这个角要大,但它还是锐角呀。
生3:不是的,最大的锐角应该是89.9度。
(越来越多的小手举起来,我边思索边让学生们发言)
生4:我认为小数点后每增加一个9,这个锐角就大一点点了。
生5:自然数的个数是无限的,小数点后面9的个数也可以是无限的,我认为最大的锐角应该是没有吧。
生6:我认为最大锐角好像有,又好像没有。
生7:我感觉最大锐角肯定是有的,因为它要比直角小一点点,更不可能像自然数一样有无限大的,但我不知道它是几度。
经他这么一说,学生们似乎有点认同他的答案,却都把目光投向了我,希望我揭开答案。我环视了一下全班学生,看着他们期待的目光说:“刚才同学们提的问题非常有探讨价值,这是许多数学家都研究过的问题,许多同学的想法和数学家们的想法非常接近。当小数点后的‘9’越多这个锐角就越大,当这个‘9’是无限多时,它就越接近直角了,所以我们可以把它近似地看成是直角但又不是直角。”
下课后,我脑中一直思索着课堂上的争论。这“最大的锐角是多少”的问题真让我在课堂上有点尴尬,我知道这里涉及的极限思想是无法让小学生接受的,他们需要的是有没有这个最大的锐角,如果有是多少度这样的答案。带着这样的问题,我开始了网上搜索、书籍查询、同伴交流,好像这个问题自古以来就只在我这个班的学生提出过一样,难以找到令我兴奋的答案。于是我开始了各种假设、论证,慢慢地也有如下一些思考,现借贵刊一角和编辑及广大同行们交流。
1.我认为最大的锐角应该就是“90度”,同时“90度”也是最小的钝角。证明如下:
首先假设最大锐角的度数是X=89.9999……①,
将等号两边同时乘10得:10X=899.9999……②;
再将②式减去①式,得:9X=810,X=90,
所以最大的锐角89.9999……度正好是90度。
同理,假设最小的钝角是 y=90.0000…01 ……①,
将等号两边同时乘10得: 10y=900.0000…01
……②;
再将②式减去①式,则得: 9y=810,y=90,
所以最小的钝角90.0000…01度正好是90度。
由此可得:“90度”既是最大的锐角,也是最小的钝角。
2.我认为“90度”是无限多个角度中的一个,它如30度、150度、7.5度等一样,都可以在数轴上找到相应的点。在《几何原本》中有这样一条定义:“当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时,这些角中的每一个被叫做直角,而且称这一条直线垂直于另一条直线,一个直角等于90度。”由此我们可以看出,给90度角命名为直角有它的特殊性,如果两条直线夹角稍微偏离一点后交成的邻角度数就不会相等了,就出现了锐角和钝角,所以我们应该把“90度”看成是锐角和钝角的临界点,具有最大的锐角和最小的钝角的双重意义。这类似于夜里钟面上12时所表示的既是今天的结束,又是明天的开始的双重意义。
3.同理,我们可以推算最大的钝角就是平角180度,“180度”是优角和劣角的临界点。