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导语:大家把理论知识复习好的同时,也应该要多做题,从题中找到自己的不足,及时学懂,下面是数学网小编为大家整理的高三必修同步数学练习题,希望对大家有帮助。
1.若xy0,则对 xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x2,则当x=____时,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时,求f(x)的最小值;
(2)当x0 时,求f(x)的最大值.
解:(1)∵x0,12x,4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,
当x0时,f(x)的最小值为83.
(2)∵x0,-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,
当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.
当x0时,f(x)的最大值为-83.
《质数、合数、分解质因数》试题
1.下面的数中,哪些是合数,哪些是质数。
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合数有:
质数有:
2.写出两个都是质数的连续自然数。
3.写出两个既是奇数,又是合数的数。
4.判断:
(1)任何一个自然数,不是质数就是合数。()
(2)偶数都是合数,奇数都是质数。()
(3)7的倍数都是合数。()
(4)20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数,积是171。()
(5)只有两个约数的数,一定是质数。()
(6)两个质数的积,一定是质数。()
(7)2是偶数也是合数。()
(8)1是最小的自然数,也是最小的质数。()
(9)除2以外,所有的偶数都是合数。()
(10)最小的自然数,最小的质数,最小的合数的和是7。()
5.在()内填入适当的质数。
10=()+()
10=()×()
20=()+()+()
8=()×()×()
6.分解质因数。
655694761351058793
7.*两个质数的和是18,积是65,这两个质数分别是多少?
8.**一个两位质数,交换个位与十位上的数字,所得的两位数仍是质数,这个数是()。
9.**用10以内的质数组成一个三位数,使它能同时被3、5整除,这个数最小是(),最大是()。
参考答案
1.下面的数中,哪些是合数,哪些是质数。
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合数有:24、57、63、87
质数有:13、29、41、79
2.写出两个都是质数的连续自然数。
2和3
3.写出两个既是奇数,又是合数的数。
9和15
4.判断:
(1)任何一个自然数,不是质数就是合数。(×)
(2)偶数都是合数,奇数都是质数。(×)
(3)7的倍数都是合数。(×)
(4)20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数,积是171。(√)
(5)只有两个约数的数,一定是质数。(√)
(6)两个质数的积,一定是质数。(×)
(7)2是偶数也是合数。(×)
(8)1是最小的自然数,也是最小的质数。(×)
(9)除2以外,所有的偶数都是合数。(√)
(10)最小的自然数,最小的质数,最小的合数的和是7。(√)
5.在()内填入适当的质数。
10=(3)+(7)
10=(2)×(5)
20=(2)+(7)+(11)
8=(2)×(2)×(2)
6.分解质因数。
655694
76135105
8793
7.*两个质数的和是18,积是65,这两个质数分别是多少?
这两个质数分别是3和15。
8.**一个两位质数,交换个位与十位上的数字,所得的两位数仍是质数,这个数是()。
13和31
37和73
79和97
9.**用10以内的质数组成一个三位数,使它能同时被3、5整除,这个数最小是(375),最大是(735)。
可以这样想:(1)10以内质数有:2、3、5、7;(2)同时能被3、5整除,个位上数只能是5;这个三位数各数位之和也必须是3的倍数,所以只能用3和7。
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高三数学的备考离不开做模拟试题,多做模拟试卷将对你的高考很有帮助,以下是百分网小编为你整理的2018届乌鲁木齐市高三数学模拟试卷,希望能帮到你。
2018届乌鲁木齐市高三数学模拟试卷题目
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2?3x+2<0},B={x|1
A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A∩B=∅
2.若复数 为纯虚数(i为虚数单位),则实数m等于( )
A.?1 B. C. D.1
3.等差数列{an}中,已知a1=2,a3+a5=10,则a7等于( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.“log2a>log2b”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数n被3除余2,被5除余3,被7除余4,求n的最小值.按此歌诀得算法如图,则输出n的结果为( )
A.53 B.54 C.158 D.263
6.下列函数中,以 为最小正周期的偶函数是( )
A. B.y=sin22x?cos22x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2xcos2x
7.已知实数x,y满足 ,则z=?3x?y的最大值为( )
A.?19 B.?7 C.?5 D.?4
8.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2?xy的最小值是( )
A.35 B.105 C.140 D.210
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.8+2π B.8+3π C.10+2π D.10+3π
10.已知双曲线 的左,右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,若△AF1F2的内切圆半价为 ,则其离心率为( )
A. B.2 C. D.
11.球O与棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面的面积为( )
A. B.π C. D.
12.已知对任意实数k>1,关于x的不等式 在(0,+∞)上恒成立,则a的最大整数值为( )
A.0 B.?1 C.?2 D.?3
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若单位向量 满足 ,则向量 的夹角的余弦值为 .
14.学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班,要求每人值班一天,每天安排两人,若六位老师中王老师不能值5月2日,李老师不能值5月3日的班,则满足此要求的概率为 .
15.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为 .
16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足 ,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n,则f(a5)+f(a6)= .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC.
(Ⅰ)求C的大小;
(Ⅱ)若 ,求△ABC周长的最大值.
18.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC是正三角形,E是棱BB1的中点.
(Ⅰ)求证平面AEC1⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)若AA1=AB,求二面角C?AE?C1的平面角的余弦值.
19.对某地区儿童的身高与体重的一组数据,我们用两种模型①y=bx+a,②y=cedx拟合,得到回归方程分别为 , ,作残差分析,如表:
身高x(cm) 60 70 80 90 100 110
体重y(kg) 6 8 10 14 15 18
0.41 0.01 1.21 ?0.19 0.41
?0.36 0.07 0.12 1.69 ?0.34 ?1.12
(Ⅰ)求表中空格内的值;
(Ⅱ)根据残差比较模型①,②的拟合效果,决定选择哪个模型;
(Ⅲ)残差大于1kg的样本点被认为是异常数据,应剔除,剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程.
(结果保留到小数点后两位)
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 , .
20.在平面直角坐标系xOy中,M,N是x轴上的动点,且|OM|2+|ON|2=8,过点M,N分别作斜率为 的两条直线交于点P,设点P的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点Q(1,1)的两条直线分别交曲线E于点A,C和B,D,且AB∥CD,求证直线AB的斜率为定值.
21.设函数 .
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a<?2时,讨论f(x)的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为 (t为参数, ),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(Ⅰ)讨论直线l与圆C的公共点个数;
(Ⅱ)过极点作直线l的垂线,垂足为P,求点P的轨迹与圆C相交所得弦长.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x?1|+|x+a|.
(Ⅰ)当a=1时,求y=f(x)图象与直线y=3围成区域的面积;
(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的值.
2018届乌鲁木齐市高三数学模拟试卷答案
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2?3x+2<0},B={x|1
A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A∩B=∅
【考点】15:集合的表示法.
【分析】化简集合A,即可得出集合A,B的关系.
【解答】解:∵集合A={x|x2?3x+2<0}=(1,2),B={x|1
故选:C.
2.若复数 为纯虚数(i为虚数单位),则实数m等于( )
A.?1 B. C. D.1
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0列式求得m值.
【解答】解:∵ 为纯虚数,
∴ ,得m=1.
故选:D.
3.等差数列{an}中,已知a1=2,a3+a5=10,则a7等于( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】根据题意和等差数列的性质得到:a1+a7=a3+a5,代入数据求出a7的值.
【解答】解:∵等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,
∴由等差数列的性质得,a1+a7=a3+a5=10,
解得a7=8,
故选:C.
4.“log2a>log2b”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵ .反之不成立,可能0>a>b.
故选:A.
5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数n被3除余2,被5除余3,被7除余4,求n的最小值.按此歌诀得算法如图,则输出n的结果为( )
A.53 B.54 C.158 D.263
【考点】EF:程序框图.
【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2,被5除余3,被7除余4,求出n的最小值.
【方法二】按此歌诀得算法的程序框图,按程序框图知n的初值,代入循环结构求得n的值.
【解答】解:【方法一】正整数n被3除余2,得n=3k+2,k∈N;
被5除余3,得n=5l+3,l∈N;
被7除余4,得n=7m+4,m∈N;
求得n的最小值是53.
【方法二】按此歌诀得算法如图,
则输出n的结果为
按程序框图知n的初值为263,代入循环结构得n=263?105?105=53,
即输出n值为53.
故选:A.
6.下列函数中,以 为最小正周期的偶函数是( )
A. B.y=sin22x?cos22x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2xcos2x
【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式,再利用三角函数的奇偶性、周期性,得出结论.
【解答】解:∵cos(2x+ )=?sin2x,是奇函数,故排除A;
∵y=sin22x?cos22x=?cos4x,是偶函数,且 ,故B满足条件;
∵y=sin2x+cos2x= sin(2x+ )是非奇非偶函数,故排除C;
∵y=sin2xcos2x= sin4x是奇函数,故排除D,
故选:B.
7.已知实数x,y满足 ,则z=?3x?y的最大值为( )
A.?19 B.?7 C.?5 D.?4
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件 作出可行域如图所示,
联立 ,解得A(2,?1),
化目标函数z=?3x?y为y=?3x?z,由图可知,
当直线z=?3x?y过点A(2,?1)时,z=?3x?y有最大值,最大值为?5.
故选:C.
8.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2?xy的最小值是( )
A.35 B.105 C.140 D.210
【考点】7F:基本不等式.
【分析】x,y∈R,x2+y2+xy=315,可得x2+y2=315?xy≥2xy,因此xy≤105.即可得出.
【解答】解:∵x,y∈R,x2+y2+xy=315,
∴x2+y2=315?xy,315?xy≥2xy,当且仅当x=y=± 时取等号.
∴xy≤105.
∴x2+y2?xy=315?2xy≥315?210=105.
故选:B.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.8+2π B.8+3π C.10+2π D.10+3π
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成,即可求出表面积.
【解答】解:根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成,
所以表面积 .
故选D.
10.已知双曲线 的左,右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,若△AF1F2的内切圆半价为 ,则其离心率为( )
A. B.2 C. D.
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】由题意可得A在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|AF1|?|AF2|=2a,设Rt△AF1F2内切圆半径为r,运用等积法和勾股定理,可得r=c?a,结合条件和离心率公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:由点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,
可得A在双曲线的右支上,
由双曲线的定义可得|AF1|?|AF2|=2a,
设Rt△AF1F2内切圆半径为r,
运用面积相等可得S = |AF2|•|F1F2|
= r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|),
由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2,
解得r= ,
,
则离心率e= = ,
故选A.
11.球O与棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面的面积为( )
A. B.π C. D.
【考点】LG:球的体积和表面积.
【分析】求出圆心到截面距离,利用d2+r2=1求出截面半径,即可求出截面的面积.
【解答】解:设圆心到截面距离为d,截面半径为r,
由VO?ACM=VM?AOC,即 ,∴ ,
又d2+r2=1,∴ ,所以截面的面积为 .
故选D.
12.已知对任意实数k>1,关于x的不等式 在(0,+∞)上恒成立,则a的最大整数值为( )
A.0 B.?1 C.?2 D.?3
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导数,得到函数的单调区间,画出函数的大致图象,结合图象求出a的范围,从而确定a的最大整数值即可.
【解答】解:令 ,依题意,对任意k>1,
当x>0时,y=f(x)图象在直线y=k(x?a)下方,
,
x,f′(x),f(x)的变化如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 ?
f(x) 递增 递减
y=f(x)的大致图象:
则当a=0时,∵f"(0)=2,∴当1
当a=?1时,设y=k0(x+1)与y=f(x)相切于点(x0,f(x0)).
则 ,解得 .
∴ ,故成立,∴当a∈Z时,amax=?1.
故选:B.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若单位向量 满足 ,则向量 的夹角的余弦值为 .
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】设向量 , 的夹角为θ,根据向量的数量积公式计算即可.
【解答】解:∵ ,
∴ ,
∵ 为单位向量,即 ,
∴4?4cosθ+1=2,
∴ .
故答案为: .
14.学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班,要求每人值班一天,每天安排两人,若六位老师中王老师不能值5月2日,李老师不能值5月3日的班,则满足此要求的概率为 .
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】六位老师值班每天两人的排法有 种,求出满足要求的排法有42种,即可求出概率.
【解答】解:六位老师值班每天两人的排法有 种,满足要求的排法有:第一种情况,王老师和李老师在同一天值班,则只能排在5月1号,有 种;第二种情况,王老师和李老师不在同一天值班,有 种,故共有42种.因此满足此要求的概率 .
故答案为 .
15.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为 3 .
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.
【解答】解:由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=?2的距离d.
又圆心C到抛物线准线的距离为4,
则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号.
故|PQ|+|PC|得最小值为3.
故答案为:3.
16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足 ,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n,则f(a5)+f(a6)= 3 .
【考点】8E:数列的求和.
【分析】由已知求得函数周期,再由数列递推式求出数列通项,求得a5、a6的值,则答案可求.
【解答】解:∵f(x)为奇函数,∴f(?x)=?f(x),
又∵ ,∴ .
∴ .
∴f(x)是以3为周期的周期函数.
∵数列{an}满足a1=?1,且Sn=2an+n,
∴当n≥2时,Sn?1=2an?1+n?1,
则an=2an?2an?1+1,即an=2an?1?1,
∴an?1=2(an?1?1)(n≥2),
则 ,∴ .
上式对n=1也成立.
∴a5=?31,a6=?63.
∴f(a5)+f(a6)=f(?31)+f(?63)=f(2)+f(0)=f(2)=?f(?2)=3.
故答案为:3.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC.
(Ⅰ)求C的大小;
(Ⅱ)若 ,求△ABC周长的最大值.
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理得到a2+b2?c2=?ab,由此利用余弦定理能求出 .
(Ⅱ)由正弦定理求出a=2sinA,b=2sinB.由此利用正弦加法定理求出周长l= ,由此能求出△ABC周长的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)∵△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,
(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC.
∴由已知,得 ,
即a2+b2?c2=?ab,
∴ ,
由0
∴ .
(Ⅱ)∵ ,∴ ,
∴a=2sinA,b=2sinB.
设周长为l,则
=
=
∵ ,∴2 <2sin(A+ )+ ≤2+ ,
∴△ABC周长的最大值为 .
18.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC是正三角形,E是棱BB1的中点.
(Ⅰ)求证平面AEC1⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)若AA1=AB,求二面角C?AE?C1的平面角的余弦值.
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)分别取AC,AC1的中点O,F,推导出四边形OBEF是平行四边形,从而OB∥EF.推导出OB⊥面ACC1A1,从而EF⊥平面ACC1A1,由此能证明平面AEC1⊥平面AA1C1C.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C?AE?C1的平面角的余弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)分别取AC,AC1的中点O,F,
连结OB,OF,EF,则OF BE,
∴四边形OBEF是平行四边形,∴OB∥EF.
∵ABC?A1B1C1是直三棱柱,ABC是正三角形,O是AC的中点,
∴OB⊥面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1,
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
(Ⅱ)建立如图O?xyz空间直角坐标系,设AA1=AB=2,
则 ,
,
设平面AEC的法向量为 ,
平面AEC1的法向量为 ,
则有 , ,
得 ,
设二面角C?AE?C1的平面角为θ,
则 .
∴二面角C?AE?C1的平面角的余弦值为 .
19.对某地区儿童的身高与体重的一组数据,我们用两种模型①y=bx+a,②y=cedx拟合,得到回归方程分别为 , ,作残差分析,如表:
身高x(cm) 60 70 80 90 100 110
体重y(kg) 6 8 10 14 15 18
0.41 0.01 1.21 ?0.19 0.41
?0.36 0.07 0.12 1.69 ?0.34 ?1.12
(Ⅰ)求表中空格内的值;
(Ⅱ)根据残差比较模型①,②的拟合效果,决定选择哪个模型;
(Ⅲ)残差大于1kg的样本点被认为是异常数据,应剔除,剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程.
(结果保留到小数点后两位)
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 , .
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】(Ⅰ)根据残差分析,把x=80代入 得 .10?10.39=?0.39,即可求表中空格内的值;
(Ⅱ)求出残差的绝对值和,即可得出结论;
(Ⅲ)确定残差大于1kg的样本点被剔除后,剩余的数据,即可求出回归方程.
【解答】解:(Ⅰ)根据残差分析,把x=80代入 得 .10?10.39=?0.39.
所以表中空格内的值为?0.39.
(Ⅱ)模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62,
模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7,
所以模型①的拟合效果比较好,选择模型①.
(Ⅲ)残差大于1kg的样本点被剔除后,剩余的数据如表
由公式: , .得回归方程为y=0.24x?8.76.
20.在平面直角坐标系xOy中,M,N是x轴上的动点,且|OM|2+|ON|2=8,过点M,N分别作斜率为 的两条直线交于点P,设点P的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点Q(1,1)的两条直线分别交曲线E于点A,C和B,D,且AB∥CD,求证直线AB的斜率为定值.
【考点】J3:轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)求出M,N的坐标,利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程;
(Ⅱ)利用点差法,求出CD的斜率,即可证明结论.
【解答】(Ⅰ)解:设P(m,n),直线 ,令y=0,得 ,
直线 ,令y=0,得 .
∴ .
∴曲线E的方程是 ;
(Ⅱ)证明:∵AB∥CD,设 ,A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),
则(1?xA,1?yA)=λ(xC?1,yC?1),
即xA=1+λ?λxC,yA=1+λ?λyC①,同理xB=1+λ?λxD,yB=1+λ?λyD②
将A(xA,yA),B(xB,yB),代入椭圆方程得 ,
化简得3(xA+xB)(xA?xB)=?4(yA+yB)(yA?yB)③
把①②代入③,得3(2+2λ)(xC?xD)?3λ(xC+xD)(xC?xD)=?4(2+2λ)(yC?yD)+4λ(2+2λ)(yC+yD)(yC?yD)
将C(xC,yC),D(xD,yD),代入椭圆方程,同理得3(xC+xD)(xC?xD)=?4(yC+yD)(yC?yD)代入上式得3(xC?xD)=?4(yC?yD).
即 ,
∴直线AB的斜率为定值
21.设函数 .
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a<?2时,讨论f(x)的零点个数.
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)求出f(e?a),由f(1)>0,f(e?a)<0,及f(x)的单调性,可知f(x)在(1,e?a)上有唯一零点,取 ,则 ,根据函数的零点存在定理讨论即可.
【解答】解:(Ⅰ)f"(x)=2(x?1)(lnx+a)(x>0).
①当a=0时,f"(x)=2(x?1)lnx,当00,
当x>1时,f"(x)>0.当x=1时,f"(x)=0.∴f(x)在(0,+∞)递增;
②当a>0时,令f"(x)=0,得 ,此时e?a<1.
易知f(x)在(0,e?a)递增,(e?a,1)递减,(1,+∞)递增;
③当a<0时,e?a>1.易知f(x)在(0,1)递增,(1,e?a)递减,(e?a,+∞)递增.
(Ⅱ)当a<?2时,由(Ⅰ)知f(x)在(0,1)上递增,(1,e?a)上递减,(e?a,+∞)上递增,
且 ,将x=e?a代入f(x),
得 ,
∵a<?2,∴f(e?a)<0.
下面证明 当x∈(0,1)时存在x0,使f(x0)<0.
首先,由不等式lnx
考虑到x2?2x=x(x?2)<0,
∴ .
再令 ,可解出一个根为 ,
∵a<?2,∴ ,∴ ,就取 .
则有f(x0)<0.由零点存在定理及函数f(x)在(0,1)上的单调性,
可知f(x)在(0,1)上有唯一的一个零点.
由f(1)>0,f(e?a)<0,及f(x)的单调性,可知f(x)在(1,e?a)上有唯一零点.
下面证明在x∈(e?a,+∞)上,存在x1,使f(x1)>0,就取 ,则 ,
∴ ,
由不等式ex>x+1,则e?a+a>(?a+1)+a>0,即f(x1)>0.
根据零点存在定理及函数单调性知f(x)在(e?a,+∞)上有一个零点.
综上可知,f(x)当a<?2时,共有3个零点.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为 (t为参数, ),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(Ⅰ)讨论直线l与圆C的公共点个数;
(Ⅱ)过极点作直线l的垂线,垂足为P,求点P的轨迹与圆C相交所得弦长.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)直线l为过定点A(0,1),倾斜角在 内的一条直线,圆C的方程为(x?1)2+y2=1,即可讨论直线l与圆C的公共点个数;
(Ⅱ)过极点作直线l的垂线,垂足为P,联立 得 ,即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长.
【解答】解:(Ⅰ)直线l为过定点A(0,1),倾斜角在 内的一条直线,
圆C的方程为(x?1)2+y2=1,∴当 时,直线l与圆C有1个公共点;
当 时,直线l与圆C有2个公共点
(Ⅱ)依题意,点P在以OA为直径的圆上,可得轨迹极坐标方程为 .
联立 得 .
∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是 .
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x?1|+|x+a|.
(Ⅰ)当a=1时,求y=f(x)图象与直线y=3围成区域的面积;
(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的值.
【考点】5B:分段函数的应用;R4:绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)当a=1时可写出f(x)的解析式,进而可从图象上看出围成的区域即为三角形,计算即得结论;
(Ⅱ)分 与 两种情况讨论即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|2x?1|+|x+1|= ,
其图象如图所示,易知y=f(x)图象与直线y=3交点坐标,
所以围成区域的面积为 [1?(?1)]×(3? )= .
(Ⅱ)当 ,即 时, .
所以 ,
所以 ?a?1=1,解得a=? ,满足题意;
当 ,即 时, ,
所以f(x)min=f( )=| +a|= +a=1,解得a= ,满足题意;
综上所述, 或 .