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[曲线的切线方程]曲线方程的几种常规求法

中考作文解析 时间:2019-05-22

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  通过曲线上的点集与方程的解集间的一一对应关系,建立曲线与方程的对应关系,是解析几何的核心问题。在学习了直线、圆、圆锥曲线的方程以后,进一步探究曲线与方程间的关系,并通过方程研究曲线的性质,深刻认识方程的几何意义。而求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一,是用代数方法研究几何问题的基础。
  求曲线方程,一般有五个步骤,这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似。
  (1)依据已知几何条件建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
  (2)列出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};(此步根据情况可以省略)
  (3)用坐标表示条件P(M),列出方程=f(x,y)=0;
  (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
  (5)证明化简后的方程为所求曲线的方程,即验证以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上。
  简记为建系、列式、代换、化简、证明。
  为了帮助同学们更好地理解、掌握这类题型,下面我们结合具体的实例,对求一般曲线的过程和常用方法予以说明。
  一、直接法
  如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,那么我们只需利用解析几何中的一些基本定理和公式,直接列出动点的坐标(x,y)所满足的关系式,通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程。
  例1:试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹。
  解析:设P(x,y)为轨迹上任意一点,则|x|-|y|=2。
  当x≥0,y≥0时,方程为x-y=±2,此时轨迹为以(2,0),(0,2)为端点,斜率为1的两条射线;
  当x≤0,y≥0时,方程为x+y=±2,此时轨迹为以(-2,0),(0,2)为端点,斜率为-1的两条射线;
  当x≤0,y≤0时,方程为y-x=±2,此时轨迹为以(-2,0),(0,-2)为端点,斜率为1的两条射线;
  当x≥0,y≤0时,方程为x+y=±2,此时轨迹为以(2,0),(0,-2)为端点,斜率为-1的两条射线。(曲线如右图)
  评注:本题中,已经给定了坐标系,并且等量关系可以直接得到,因此用此法求解最方便。
  二、代入法
  如果动点P(x,y)与Q(a,b)之间满足某些关系式,先写出P与Q之间的坐标关系,并用Q的坐标表示P的坐标,而后代入P的坐标所满足的关系式,并化简整理,即得所求方程。
  例2:设M为已知圆O:x2+y2=a2上任意一点,圆O和x轴的两个交点为A1(-a,0),A2(a,0),从A2作直线垂直于圆O在M点的切线MB,交直线A1M于P,求P点轨迹方程。
  解:当M在A2处时,从A2作垂直于MB的直线就是x轴,它与直线A1M重合,此时点P的轨迹方程是y=0;
  当M在A1处时,与题中直线A1M不符。
  三、参数法
  有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点常常受到另一个变量的制约,或者用这个变量可以将动点坐标(x,y)中的x,y表示出来。此时可以取这个变数为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫作参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,需要将参数消去。
  例3:在正方形ABCD中,AB、BC边上各有一个动点Q、R,且|BQ|=|CR|,试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程。
  分析:交点P受Q与R的制约,因此,选择的参数要与Q、R有直接联系,故可以选取AQ与BR为参数。
  解:如图,取A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,正方形ABCD边长为a,取AQ=t,BR=t。
  评注:本题使用参数法求轨迹,取AQ=t,即以t为参数统一x,y,最后消去参数,用参数求轨迹要注意合理选择参数,作参数的量常是动点的坐标。
  (作者单位:内蒙古巴彦淖尔市临河区第一中学)

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