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【摘 要】Logistic阻滞增长模型在人口预测中有着广泛应用，应用SPSS软件能较为简便地进行Logistic曲线的拟合。文章介绍了SPSS拟合Logistic人口预测方程的两种方法及其步骤，并通过其结果分析比较二者的优缺点。
Logistic模型为荷兰数学家及生物学家Verhulst.Pearl在修正非密度方程时提出，其目的为研究受到生存资源制约的情况下生物种群的增长规律。在Logistic模型中，有限空间内种群不能无限增长，而是存在着数量上限。由于自然资源、环境条件等因素对种群的增长起着阻滞作用，并且随着种群数量的增大，阻滞作用逐步增大，即实测增长率是一个减函数，且随着种群数量的增大而减小，当种群数量趋于上限时，种群增长亦趋于稳定。由于Logistic阻滞增长模型所需的数据少，计算简单，对中短期时间内的种群数量预测较为准确，亦常应用于人口预测方面。
一、Logistic阻滞增长模型
如上文述，人口增长率为以人口数量x为自变量的函数r（x），这里r（x）为减函数。假设r（x）= r �Sx，S>0，这里r为初始值r（），即当人口无生存环境和资源限制时的固有增长率。当人口数量达到人口最大容量，将有r（）=0，此时人口达到稳定状态。由线性关系r（）=r-S，可得S=r/。假设x是时间t的函数x（t），从而有解变量可分离方程。
二、SPSS软件拟合Logistic人口阻滞增长模型
通过模型方程（Ⅰ）可知，Logistic模型拟合的重点为参数和的确定。下采用两种SPSS软件的回归拟合方法，利用1990-2010年人口调查数据（如表1）进行人口数量的预测。
（一）非线性回归（Nonlinear Regression）拟合
在SPSS（SPSS19.0）的变量视图中定义两变量人口数量x及年份t，在数据视图中由上而下录入人口数据（如图1所示）。
在菜单栏依次选择分析（Analyze）―回归（Regression）―非线性估计（Nonlinear），打开非线性回归窗口。将年末总人口[x]送入因变量一栏，在模型表达式输入框中输入模型公式
A/（1 +（A / 114333 - 1）* Exp（- r *（t - 1990）））（如图2）。此处以A代替人口最大容量，由于时间以1990年为初始年份，原方程中的t转为t-1990。选择“参数”项进行参数A和r初始值的设定（如图3），这里A初始值选择人数中的最大值134091（万人），r的初始值选择1991年的人口增长率0.013，“使用上一分析的起始值”一栏选中，单击“继续”。单击“保存”项，打开对话框如图4，选中预测值和残差项，便于检验模型方程的拟合效果，选择“继续”返回非线性回归窗口，选择“确定”运行。在输出（Output）窗口中，可以得到参数A的迭代计算过程、参数估计等内容。由参数估计得参数估计值，=0.0675。R2=1.000。
（二）曲线估计法
采用SPSS的曲线估计进行模型拟合，须先求参数。对估计的方法很多，这里采用三点法进行求取。
选择分析（Analyze）―回归（Regression）―曲线估计（Curve Estimation），打开曲线估计窗口，将年末总人口[x]和年份[t]分别送入因变量和自变量输入框，在“模型”区选中Logistic，在上限一栏填入142515.5576，在“保存”对话框中选中预测值和残差，其他依照默认选择。选择“确定”。
三、对两种方法所得拟合方程的讨论
从可决系数R2来看，两种方法所得拟合方程的R2均得1，则两种方法对Logistic人口预测模型的拟合性都很好。分别用两种方法所得方程对2011年和2012年的年末人口数进行估计，结果如下表1。可以看出，曲线估计的拟合相对较好。
考虑二者操作的简便性，前者的拟合性不依赖于A、r初值的选取（选取失当会影响迭代过程所需时间），可靠程度较好，后者则需要利用其它方法预估的值，最终所得方程的拟合性很大程度上亦依赖于的取值。
参考文献
[1] 湖北省大学生数学建模竞赛专家组编.数学建模（本科册）[M].华中科技大学出版社，2006（2）：4-5.
[2] 卢纹岱.SPSS for Windows统计分析[M].北京：电子工业出版社，2006：345.
作者简介：杨子（1994- ），女，回族，河北沧州人，中央民族大学理学院本科生；陈曦（1995- ），女，天津人，中央民族大学理学院本科生；傅冠宁（1993- ），男，回族，辽宁沈阳人，中央民族大学理学院本科生。